Формулы сложения и умножения вероятностей

Формулы сложения и умножения вероятностей являются основными инструментами в теории вероятностей, позволяющими вычислять вероятность сложных событий на основе вероятностей более простых событий.

Формула сложения вероятностей

Формула сложения вероятностей используется для вычисления вероятности объединения двух событий. Она применяется как для несовместных, так и для совместных событий.

Несовместные события

Если события $A$ и $B$ несовместны (то есть они не могут произойти одновременно), то вероятность их объединения вычисляется по формуле:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Пример:

Пусть $A$ — событие “выпало четное число” при броске кубика, а $B$ — событие “выпало число 5”. Поскольку эти события несовместны:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Совместные события

Если события $A$ и $B$ совместны (то есть они могут произойти одновременно), то вероятность их объединения вычисляется по формуле:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Пример:

Пусть $A$ — событие “выпало четное число”, а $B$ — событие “выпало число больше 4”. В этом случае $A$ и $B$ совместны:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Где $P(A) = \frac{3}{6}$ , $P(B) = \frac{2}{6}$ , и $P(A \cap B) = P(\{6\}) = \frac{1}{6}$ :

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Формула умножения вероятностей

Формула умножения вероятностей используется для вычисления вероятности пересечения двух событий. Она также применяется для независимых и зависимых событий.

Независимые события

Если события $A$ и $B$ независимы (то есть вероятность одного события не зависит от другого), то вероятность их совместного наступления вычисляется по формуле:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Пример:

Пусть $A$ — событие “выпало четное число” при броске первого кубика, а $B$ — событие “выпало число 3” при броске второго кубика. Эти события независимы:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

Зависимые события

Если события $A$ и $B$ зависимы (то есть вероятность наступления одного события зависит от другого), то вероятность их совместного наступления вычисляется по формуле:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A)

где $P (B ∣ A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло.

Пример:

Предположим, что мы вытаскиваем две карты из колоды без возвращения. Пусть $A$ — событие “первая карта — туз”, а $B$ — событие “вторая карта — туз”. Вероятности будут зависеть друг от друга:

P(A) = \frac{4}{52}, \quad P(B | A) = \frac{3}{51}

Тогда вероятность того, что обе карты — тузы:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}

Заключение

Формулы сложения и умножения вероятностей позволяют анализировать сложные события и вычислять их вероятности на основе простых событий. Понимание этих формул является важным аспектом теории вероятностей и применяется в различных областях, включая статистику, экономику и науки о данных.