Совместные события

Совместные события — это события, которые могут происходить одновременно. В теории вероятностей важно уметь вычислять вероятность таких событий, поскольку они часто встречаются в реальных задачах.

Определение совместных событий

Два события $AA$ и $BB$ называются совместными, если они могут произойти одновременно. Это означает, что существует хотя бы один элементарный исход, который удовлетворяет обоим событиям.

Пример:

• Пусть $AA$ — событие “выпало четное число” при броске кубика.
• Пусть $BB$ — событие “выпало число больше 2”.

События $AA$ и $BB$ являются совместными, поскольку возможны такие исходы, как 4 и 6, которые удовлетворяют обоим условиям.

Вероятность совместных событий

Вероятность совместных событий можно вычислить, используя формулу сложения вероятностей. Для совместных событий используется следующая формула:

где:

• $P(A\cup B)P(A\; \backslash cup\; B)$ — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $AA$ или $BB$, $P(A)P(A)$ — вероятность события $AA$, $P(B)P(B)$ — вероятность события $BB$, $P(A\cap B)P(A\; \backslash cap\; B)$ — вероятность того, что произойдут оба события одновременно.

Пример вычисления:

Рассмотрим события:

• $AA$: “выпало четное число” (возможные исходы: 2, 4, 6).

• $BB$: “выпало число больше 2” (возможные исходы: 3, 4, 5, 6).

Вычислим вероятности:

• $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$

• $P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}P(B)\; =\; \backslash frac\{4\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

• $P(A\cap B)=P(\{4,6\})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(\backslash \{4,\; 6\backslash \})\; =\; \backslash frac\{2\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$

Теперь подставим значения в формулу:

Приведем к общему знаменателю:

Таким образом, вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $AA$ или $BB$, равна $\frac{5}{6}\backslash frac\{5\}\{6\}$.

Условная вероятность

Совместные события также могут быть связаны с условной вероятностью. Условная вероятность события $BB$ при условии, что произошло событие $AA$, обозначается как $P(B\mathrm{\mid }A)P(B\; |\; A)$ и рассчитывается по формуле:

Эта формула позволяет вычислить вероятность события $BB$, зная, что событие $AA$ уже произошло.

Пример:

Используя предыдущие события $AA$ и $BB$, мы можем найти условную вероятность $P(B\mathrm{\mid }A)P(B\; |\; A)$:

Это означает, что если мы знаем, что выпало четное число, вероятность того, что это число больше 2, составляет $\frac{2}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}$.

Заключение

Совместные события играют важную роль в теории вероятностей. Понимание их свойств и методов вычисления вероятностей позволяет анализировать сложные ситуации и принимать обоснованные решения в различных областях, таких как статистика, финансы и наука о данных.