Совместные события

Совместные события — это события, которые могут происходить одновременно. В теории вероятностей важно уметь вычислять вероятность таких событий, поскольку они часто встречаются в реальных задачах.

Определение совместных событий

Два события $A$ и $B$ называются совместными, если они могут произойти одновременно. Это означает, что существует хотя бы один элементарный исход, который удовлетворяет обоим событиям.

Пример:

Пусть $A$ — событие “выпало четное число” при броске кубика.
Пусть $B$ — событие “выпало число больше 2”.

События $A$ и $B$ являются совместными, поскольку возможны такие исходы, как 4 и 6, которые удовлетворяют обоим условиям.

Вероятность совместных событий

Вероятность совместных событий можно вычислить, используя формулу сложения вероятностей. Для совместных событий используется следующая формула:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

где:

$P(A \cup B)$ — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$ , $P (A)$ — вероятность события $A$ , $P (B)$ — вероятность события $B$ , $P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут оба события одновременно.

Пример вычисления:

Рассмотрим события:

$A$ : “выпало четное число” (возможные исходы: 2, 4, 6).
$B$ : “выпало число больше 2” (возможные исходы: 3, 4, 5, 6).

Вычислим вероятности:

$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$P(A \cap B) = P(\{4, 6\}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значения в формулу:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3}

Приведем к общему знаменателю:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Таким образом, вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$ , равна $\frac{5}{6}$ .

Условная вероятность

Совместные события также могут быть связаны с условной вероятностью. Условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$ , обозначается как $P (B ∣ A)$ и рассчитывается по формуле:

P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

Эта формула позволяет вычислить вероятность события $B$ , зная, что событие $A$ уже произошло.

Пример:

Используя предыдущие события $A$ и $B$ , мы можем найти условную вероятность $P (B ∣ A)$ :

P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

Это означает, что если мы знаем, что выпало четное число, вероятность того, что это число больше 2, составляет $\frac{2}{3}$ .

Заключение

Совместные события играют важную роль в теории вероятностей. Понимание их свойств и методов вычисления вероятностей позволяет анализировать сложные ситуации и принимать обоснованные решения в различных областях, таких как статистика, финансы и наука о данных.