Вероятность

Вероятность — это числовая мера возможности наступления случайного события. Она используется для количественной оценки неопределенности и предсказания результатов случайных экспериментов.

Основные понятия

Случайное событие

Случайное событие — это результат случайного эксперимента, который может произойти или не произойти. События могут быть:

• Элементарные: события, которые не могут быть разложены на более простые (например, выпадение конкретного числа на игральной кости).

• Составные: события, состоящие из нескольких элементарных событий (например, выпадение четного числа на игральной кости).

Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий (или пространство исходов) — это множество всех возможных исходов случайного эксперимента. Например, для броска игральной кости пространство элементарных событий будет {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Определение вероятности

Вероятность события $AA$ обозначается $P(A)P(A)$ и определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов в пространстве элементарных событий:

где: $n(A)n(A)$ — число благоприятных исходов для события $AA$, $n(S)n(S)$ — общее число исходов в пространстве элементарных событий.

Пример:

Для броска игральной кости вероятность выпадения числа 4:

Основные свойства вероятности

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1: Вероятность любого события варьируется от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие).

2. Сумма вероятностей: Сумма вероятностей всех элементарных событий в пространстве равна 1:

   $P(S)=1.P(S)\; =\; 1.$

3. Вероятность противоположного события: Вероятность того, что событие $AA$ не произойдет, равна:

   $P(A^{\mathrm{\prime }})=1-P(A)\mathrm{.}P(A\text{'})\; =\; 1\; -\; P(A).$

Условная вероятность

Условная вероятность события $AA$ при условии, что произошло событие $BB$, обозначается $P(A\mathrm{\mid }B)P(A|B)$ и определяется как:

где $P(A\cap B)P(A\; \backslash cap\; B)$ — вероятность совместного наступления событий $AA$ и $BB$.

Пример:

Если вероятность дождя $P(A)=0.3P(A)\; =\; 0.3$ и вероятность того, что на улице холодно $P(B)=0.4P(B)\; =\; 0.4$, то условная вероятность дождя при условии, что холодно, может быть рассчитана, если известна вероятность совместного наступления этих событий.

Независимые события

События $AA$ и $BB$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

Пример:

Бросая две игральные кости, вероятность того, что на обеих выпадет 6:

Заключение

Вероятность является важным инструментом для анализа случайных явлений и принятия решений в условиях неопределенности. Понимание основных понятий и свойств вероятности позволяет эффективно решать задачи в статистике, финансах, науке и других областях. Вероятностные модели помогают предсказывать результаты, анализировать риски и оптимизировать стратегии.