Сумма вероятностей

Сумма вероятностей — это ключевое понятие в теории вероятностей, которое описывает, как вероятности различных событий связаны друг с другом. Понимание суммы вероятностей необходимо для анализа случайных явлений и принятия обоснованных решений на основе вероятностных данных.

Основные понятия

Вероятность

Вероятность события — это мера того, насколько вероятно его наступление. Вероятность принимает значения от 0 до 1, где 0 означает, что событие никогда не произойдет, а 1 означает, что событие произойдет с полной уверенностью.

События

• Элементарное событие — это событие, которое не может быть разложено на более простые элементы (например, выпадение конкретной грани кубика).

• Сложное событие — это событие, состоящее из нескольких элементарных событий (например, выпадение четного числа на кубике).

Сумма вероятностей

Основное правило сложения вероятностей

Если события $AA$ и $BB$ являются несовместными (то есть не могут произойти одновременно), то вероятность их объединения определяется как сумма их вероятностей:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A)\; +\; P(B)$

Несовместные события

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно. Например, при броске кубика нельзя одновременно получить 2 и 5.

Совместные события

Если события $AA$ и $BB$ совместны (то есть могут произойти одновременно), то вероятность их объединения рассчитывается по следующей формуле:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A)\; +\; P(B)\; -\; P(A\; \backslash cap\; B)$

где $P(A\cap B)P(A\; \backslash cap\; B)$ — вероятность одновременного наступления обоих событий.

Применение суммы вероятностей

Примеры

• Пример 1: Если вероятность выпадения 1 на кубике равна $P(A)=\frac{1}{6}P(A)\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$, а вероятность выпадения 2 равна $P(B)=\frac{1}{6}P(B)\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$, то вероятность выпадения либо 1, либо 2 будет равна:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}P(A\; \backslash cup\; B)\; =\; P(A)\; +\; P(B)\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$

• Пример 2: Если вероятность выпадения четного числа $P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(E)\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$, а вероятность выпадения 5 $P(F)=\frac{1}{6}P(F)\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$, то вероятность выпадения либо четного числа, либо 5 будет равна:

$P(E\cup F)=P(E)+P(F)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}P(E\; \backslash cup\; F)\; =\; P(E)\; +\; P(F)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

Заключение

Сумма вероятностей является важным инструментом для анализа случайных событий и их взаимосвязей. Понимание правил сложения вероятностей позволяет эффективно решать задачи, связанные с вероятностными моделями, и делать обоснованные выводы на основе анализа данных.