Условная вероятность и независимые события

Условная вероятность и независимые события — это ключевые концепции в теории вероятностей, которые помогают анализировать взаимосвязи между событиями и делать обоснованные выводы на основе имеющейся информации.

Условная вероятность

Условная вероятность события $AA$ при условии, что произошло событие $BB$, обозначается как $P(A\mathrm{\mid }B)P(A\; |\; B)$ и определяется следующим образом:

где: $P(A\cap B)P(A\; \backslash cap\; B)$ — вероятность одновременного наступления событий $AA$ и $BB$, $P(B)P(B)$ — вероятность наступления события $BB$ (при этом $P(B)>0P(B)\; >\; 0$).

Пример:

Предположим, в урне находятся 3 красных и 2 синих шара. Какова вероятность того, что выбранный шар красный, если известно, что он шар?

• Событие $AA$: “выбранный шар красный”.

• Событие $BB$: “выбранный шар”.

Общая вероятность выбора шара $P(B)=1P(B)\; =\; 1$, а вероятность выбора красного шара $P(A\cap B)=\frac{3}{5}P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; \backslash frac\{3\}\{5\}$. Таким образом:

Независимые события

Независимые события — это события, вероятность наступления одного из которых не зависит от наступления другого. Формально, два события $AA$ и $BB$ независимы, если:

Также для независимых событий выполняется следующее:

Пример:

Рассмотрим события:

• $AA$: “выпало четное число при броске кубика”.

• $BB$: “выпал орел при подбрасывании монеты”.

Эти события независимы, так как результат броска кубика не влияет на результат подбрасывания монеты.

Если $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$ и $P(B)=\frac{1}{2}P(B)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$, то:

Связь между условной вероятностью и независимостью

Для независимых событий условная вероятность одного события при условии, что произошло другое, равна просто вероятности этого события. То есть:

Это ключевое свойство позволяет упростить расчеты вероятностей в случаях, когда события независимы.

Применение условной вероятности и независимых событий

Понимание условной вероятности и независимых событий имеет большое значение в различных областях, таких как:

• Статистика: для анализа выборок и оценки вероятностей.

• Машинное обучение: для построения моделей и алгоритмов.

• Теория игр: для оценки стратегий и исходов.

• Финансовые рынки: для анализа рисков и принятия инвестиционных решений.

Формулы и свойства

Формула условной вероятности

Свойства независимых событий

• Если $AA$ и $BB$ независимы, то:
  • $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; P(A)\; \backslash cdot\; P(B)$.
  • $P(A\mathrm{\mid }B)=P(A)P(A\; |\; B)\; =\; P(A)$.
  • $P(B\mathrm{\mid }A)=P(B)P(B\; |\; A)\; =\; P(B)$.

Примеры

Пример 1: Условная вероятность

В урне 4 красных и 6 синих шаров. Какова вероятность того, что выбранный шар красный, если известно, что он не синий?

Решение: Событие $AA$: “шар красный”.
Событие $BB$: “шар не синий”.
Общая вероятность для события $BB$: $P(B)=1P(B)\; =\; 1$, так как все шары выбраны.
Вероятность выбора красного шара: $P(A\cap B)=\frac{4}{10}P(A\; \backslash cap\; B)\; =\; \backslash frac\{4\}\{10\}$.
Таким образом, $P(A\mathrm{\mid }B)=\frac{4\mathrm{/}10}{1}=\frac{4}{10}=0.4P(A\; |\; B)\; =\; \backslash frac\{4/10\}\{1\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{10\}\; =\; 0.4$.

Пример 2: Независимые события

При броске кубика и подбрасывании монеты, какова вероятность того, что выпало четное число и орел?

Решение: Событие $AA$: “выпало четное число” ($P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}P(A)\; =\; \backslash frac\{3\}\{6\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$).
Событие $BB$: “выпал орел” ($P(B)=\frac{1}{2}P(B)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$).
Вероятность одновременного наступления:

Задачи для закрепления

1. В урне 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность выбрать красный шар, если известно, что шар не синий?
2. В игре бросают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика покажут четное число?
3. Если вероятность дождя $P(A)=0.3P(A)\; =\; 0.3$ и вероятность того, что я возьму зонт $P(B)=0.5P(B)\; =\; 0.5$, какова вероятность того, что будет дождь и я возьму зонт, если события независимы?
4. В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик — мальчик, если известно, что он не девочка?

Заключение

Условная вероятность и независимые события — это важные инструменты в теории вероятностей, которые помогают анализировать и понимать взаимосвязи между событиями. Знание этих понятий позволяет решать широкий спектр задач в статистике, машинном обучении и других областях науки и практики.