Условная вероятность

Условная вероятность — это вероятность наступления события $AA$ при условии, что произошло событие $BB$. Обозначается как $P(A\mathrm{\mid }B)P(A\; |\; B)$ и определяется формулой:

где: $P(A\cap B)P(A\; \backslash cap\; B)$ — вероятность одновременного наступления событий $AA$ и $BB$. $P(B)P(B)$ — вероятность наступления события $BB$ (при этом $P(B)>0P(B)\; >\; 0$).

Основные свойства

• Свойство 1: Если события $AA$ и $BB$ независимы, то:

• Свойство 2: Если $P(B)=0P(B)\; =\; 0$, то $P(A\mathrm{\mid }B)P(A\; |\; B)$ не определено.

Формулы и вычисления

Формула условной вероятности

Для вычисления условной вероятности $P(A\mathrm{\mid }B)P(A\; |\; B)$ используется:

Пример вычисления

Если в урне 4 красных и 6 синих шаров, какова вероятность выбрать красный шар, если известно, что шар не синий?

• Событие $AA$: “шар красный”.
• Событие $BB$: “шар не синий”.

Независимые события

Два события $AA$ и $BB$ независимы, если:

Пример независимых событий

При броске кубика и подбрасывании монеты:

• Событие $AA$: “выпало четное число” ($P(A)=\frac{1}{2}P(A)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$).
• Событие $BB$: “выпал орел” ($P(B)=\frac{1}{2}P(B)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}$).

Вероятность одновременного наступления:

Применение

• Статистика: анализ данных и оценка вероятностей.

• Машинное обучение: построение моделей и алгоритмов.

• Финансовые рынки: оценка рисков и принятие решений.

Задачи для закрепления

1. В урне 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность выбрать красный шар, если известно, что шар не синий?
2. В игре бросают два кубика. Какова вероятность того, что оба кубика покажут четное число?
3. Если вероятность дождя $P(A)=0.3P(A)\; =\; 0.3$ и вероятность того, что я возьму зонт $P(B)=0.5P(B)\; =\; 0.5$, какова вероятность того, что будет дождь и я возьму зонт, если события независимы?

Заключение

Условная вероятность — это важный инструмент для анализа и понимания взаимосвязей между событиями. Знание этой концепции позволяет решать широкий спектр задач в различных областях.