Решение: Бросок шарика после удара
С какой скоростью нужно бросить вертикально вниз с высоты $1{,}25\ \text{м}$ шарик, чтобы после удара о горизонтальную поверхность он поднялся на высоту, в 3 раза большую начальной, если в процессе удара теряется 40 % механической энергии шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговПусть $h=1{,}25\ \text{м}$ — начальная высота, а $v$ — искомая скорость броска. Перед ударом о поверхность механическая энергия шарика равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
$$E_{\text{до удара}}=mgh+\dfrac{mv^2}{2}$$После удара теряется 40 % энергии, поэтому для дальнейшего движения сохраняется 60 % энергии шарика. В верхней точке после удара кинетическая энергия равна нулю, а высота подъёма составляет $3h$:
$$0{,}6\left(mgh+\dfrac{mv^2}{2}\right)=mg\cdot 3h$$Сократим массу шарика и разделим уравнение на $g$:
$$0{,}6\left(h+\dfrac{v^2}{2g}\right)=3h$$Подставим $h=1{,}25\ \text{м}$ и $g\approx 10\ \text{м/с}^2$:
$$0{,}6\left(1{,}25+\dfrac{v^2}{20}\right)=3{,}75$$Решая уравнение, получаем:
$$v^2=10\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad v=\sqrt{10}\ \text{м/с}\approx 3{,}2\ \text{м/с}$$$v=\sqrt{10}\ \text{м/с}\approx 3{,}2\ \text{м/с}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают потерю 40 % как сохранение 40 %, а не 60 % энергии.
Не учитывают начальную потенциальную энергию шарика перед броском.
Приравнивают энергию непосредственно перед ударом к потенциальной энергии на максимальной высоте, не учитывая потери при ударе.