Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:3$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=8$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Обозначьте точку пересечения биссектрисы и высоты через $D$, а основание высоты — через $H$. Используйте условие $BD:DH=5:3$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Удобно ввести координаты: $B=(0,0)$, $C=(8,0)$, а высоту $BH$ направить вдоль оси ординат. Условие принадлежности точки $D$ биссектрисе можно записать через равенство расстояний от $D$ до прямых $AB$ и $AC$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
После упрощения получаем $AB=AC$. Тогда высота из $B$ делится биссектрисой так, что $BH=4$, а из прямоугольного треугольника находится $AB=AC=2\sqrt{5}$. Площадь треугольника равна $8$, поэтому $R=\dfrac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=5$.