Решение: Перпендикулярность хорд и центров
Окружности с центрами в точках $M$ и $N$ пересекаются в точках $S$ и $T$, причём точки $M$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $ST$. Докажите, что прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.
Решение по шагам
5 шаговТочки $S$ и $T$ лежат на окружности с центром $M$, поэтому отрезки $MS$ и $MT$ являются радиусами этой окружности и равны.
$$MS=MT$$Точки $S$ и $T$ также лежат на окружности с центром $N$, поэтому отрезки $NS$ и $NT$ являются радиусами этой окружности и равны.
$$NS=NT$$Следовательно, каждая из точек $M$ и $N$ равноудалена от концов отрезка $ST$. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку все точки, равноудалённые от его концов, лежат на этом перпендикуляре.
Значит, точки $M$ и $N$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $ST$. Поэтому прямая $MN$ является серединным перпендикуляром к $ST$.
Следовательно, прямые $MN$ и $ST$ перпендикулярны.
$$MN \perp ST$$Так как $MS=MT$ и $NS=NT$, точки $M$ и $N$ равноудалены от концов отрезка $ST$. Поэтому обе точки лежат на серединном перпендикуляре к $ST$, а прямая $MN$ совпадает с ним. Следовательно, $MN\perp ST$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают равенство радиусов $MS=MT$ и $NS=NT$.
Путают серединный перпендикуляр к $ST$ с медианой или высотой треугольника.
Делают вывод о перпендикулярности без указания свойства точек, равноудалённых от концов отрезка.