Решение: График функции с модулями
Постройте график функции $y=x|x|+|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем знаки модулей при $x<0$: $|x|=-x$. Поэтому левая часть графика задаётся формулой
$$y=x(-x)+(-x)-5x=-x^2-6x,\quad x<0$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому правая часть графика задаётся формулой
$$y=x^2+x-5x=x^2-4x,\quad x\geqslant 0$$График функции состоит из левой ветви параболы $y=-x^2-6x$ и правой ветви параболы $y=x^2-4x$. Вершина левой параболы имеет координаты $(-3;9)$, а вершина правой — $(2;-4)$.
Для $m=-4$ горизонтальная прямая касается правой ветви в точке $(2;-4)$ и пересекает левую ветвь ещё в одной точке. Значит, имеется ровно две общие точки.
Для $m=9$ горизонтальная прямая касается левой ветви в точке $(-3;9)$ и пересекает правую ветвь в одной точке. Значит, имеется ровно две общие точки.
При остальных значениях $m$ число пересечений не равно двум: либо пересечение только одно, либо их три.
m=-4 или m=9
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют задачу на случаи $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Неверно определяют координаты вершин парабол.
Не учитывают, что при $m=-4$ и $m=9$ одна из прямых касается соответствующей ветви.