Шешімі: Длина отрезка на стороне треугольника
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 14$, $AC = 98$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Шешім по шагам
4 қадамОбозначим радиус описанной окружности через $R$. Выберем направление $AO$ за ось проекций. Для любой точки $X$ описанной окружности из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $OX$ и проекцией хорды $AX$, получаем: проекция хорды $AX$ на направление $AO$ равна $\dfrac{AX^2}{2R}$.
$$\operatorname{pr}_{AO} AX = \frac{AX^2}{2R}$$Так как $BD \perp AO$, прямая $BD$ является линией уровня проекций на $AO$. Следовательно, точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AC$, её проекция равна $\dfrac{AD}{AC}$ от проекции отрезка $AC$.
$$\frac{AD}{AC}\cdot\frac{AC^2}{2R}=\frac{AB^2}{2R}$$Сокращаем общий множитель $\dfrac{1}{2R}$ и находим длину $AD$.
$$AD\cdot AC=AB^2,\qquad AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{14^2}{98}=2$$Тогда длина оставшейся части стороны $AC$ равна:
$$CD=AC-AD=98-2=96$$96
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать проекцию хорды с самой длиной хорды.
Использовать соотношение $AD\cdot AC=AB^2$ без объяснения, почему точки $B$ и $D$ имеют одинаковые проекции на $AO$.
Вычислить $AD=2$, но записать его как ответ вместо $CD$.