ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Естественнонаучная грамотность

Комплексные тапсырма о растворах и воде

Как связать массовую долю, плотность, объём и деңгей жидкости в одной есепке
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Комплексные задачи о растворах требуют не одной формулы, а последовательной модели: определить массы веществ, найти массу или объём раствора, учесть плотность и связать объём жидкости с её уровнем в сосуде. Главный принцип решения — переводить все данные в согласованные величины и проверять, что найденный результат физически возможен.

1. Что нужно определить в условии

Сначала выпишите, какие величины известны и что требуется найти. Обычно встречаются масса растворённого вещества \(m_{в}\), масса воды \(m_{воды}\), масса раствора \(m_{р}\), объём раствора \(V\), плотность раствора \(\rho\) и массовая доля вещества \(w\). Если в условии сказано, что жидкость налита в цилиндр, мензурку или сосуд постоянного сечения, дополнительно появляется уровень жидкости \(h\).

D
Основные понятия

Раствор — однородная смесь растворителя и растворённого вещества. Массовая доля показывает, какая часть массы раствора приходится на растворённое вещество: \(w=\frac{m_{в}}{m_{р}}\). В процентах массовую долю записывают как \(w\%=100\%\cdot w\).

\[m_{р}=m_{в}+m_{воды}\]1
\[w=\frac{m_{в}}{m_{р}},\qquad m_{в}=w\cdot m_{р}\]2

Эти соотношения подробно рассматриваются на странице массовой доли. Важно не путать массу раствора с массой воды: раствор всегда тяжелее одной только воды, если в нём есть растворённое вещество.

2. Переход от массы к объёму

Плотность связывает массу и объём вещества или раствора. В комплексных задачах плотность раствора обычно дана в условии или находится по данным о смеси. Если плотность указана в граммах на кубический сантиметр, массу удобно брать в граммах, а объём — в кубических сантиметрах или миллилитрах. Если плотность дана в килограммах на кубический метр, используйте килограммы и кубические метры.

\[\rho=\frac{m}{V},\qquad m=\rho V,\qquad V=\frac{m}{\rho}\]3
T
Правило единиц

Перед вычислениями приведите величины к одной системе. Полезные равенства: \(1\ мл=1\ см^3\), \(1\ л=1000\ мл\), \(1\ г/см^3=1000\ кг/м^3\). Нельзя подставлять массу в граммах и плотность в \(кг/м^3\) без перевода единиц.

Если смешиваются растворы или вода с раствором, в простой школьной модели применяют закон сохранения массы: масса всей смеси равна сумме масс исходных жидкостей. Объёмы при смешивании могут складываться только тогда, когда это разрешено условием или принято в модели. Плотность итоговой смеси затем рассчитывают отдельно, а не получают простым средним плотностей.

\[m_{смеси}=m_1+m_2+\ldots+m_n\]4
\[V_{смеси}=\frac{m_{смеси}}{\rho_{смеси}}\]5

Для расчёта плотности смеси используйте страницу расчёта плотности смеси. Если жидкости не смешиваются, применяются другие правила: их образуют отдельные слои, как описано на странице слоёв несмешивающихся жидкостей.

3. Как связать объём и деңгей жидкости

Уровень жидкости — это высота от дна сосуда до свободной поверхности. Для сосуда постоянного сечения объём прямо пропорционален уровню: чем больше жидкости, тем выше поверхность. Сначала найдите площадь поперечного сечения сосуда \(S\), затем используйте формулу \(V=Sh\).

\[V=S\cdot h,\qquad h=\frac{V}{S}\]6

Для цилиндра радиуса \(r\) площадь основания равна \(S=\pi r^2\). Для прямоугольного сосуда с длиной \(a\) и шириной \(b\) — \(S=ab\). Если площадь дана в квадратных сантиметрах, объём получится в кубических сантиметрах, а уровень — в сантиметрах.

hдеңгей жидкостиоснование S
В сосуде постоянного сечения объём жидкости равен \(V=Sh\), где \(h\) — деңгей.

Такой переход возможен только для сосуда постоянного сечения. В коническом или расширяющемся сосуде площадь сечения меняется с высотой, поэтому формула \(V=Sh\) с одной постоянной площадью неприменима. Подробнее о нахождении деңгейі см. деңгей жидкости.

Проверьте себя

Раствор массой 240 г имеет массовую долю соли 15%. Какова масса воды?

4. Универсальный алгоритм шешімдер

  1. Запишите известные величины и переведите проценты в десятичную дробь: \(12\%=0{,}12\).
  2. Определите, к какой массе относится массовая доля: почти всегда к массе всего раствора.
  3. Найдите недостающие массы по формулам массовой доли и закону сохранения массы.
  4. По плотности найдите объём раствора: \(V=m/\rho\).
  5. Если требуется деңгей, найдите площадь сечения сосуда и примените \(h=V/S\).
  6. Проверьте единицы, округление и здравый смысл ответа.
Полезная схема

Записывайте цепочку величин стрелками: массовая доля → масса раствора → масса вещества → объём раствора → деңгей. Если известна масса вещества, а масса раствора неизвестна, сначала выразите её как \(m_{р}=m_{в}/w\).

5. Разобранный пример

№
Раствор в цилиндрическом сосуде

В цилиндрический сосуд радиусом \(5\ см\) налили \(300\ г\) раствора соли с массовой долей соли \(8\%\). Плотность раствора равна \(1{,}1\ г/см^3\). Найдите массу соли, объём раствора и его деңгей в сосуде. Примите \(\pi\approx3{,}14\).

1
Массовая доля дана в процентах, поэтому переводим её в дробь.
\(\displaystyle w=8\%=0{,}08\)
2
Находим массу соли как долю от массы всего раствора.
\(\displaystyle m_{соли}=w\cdot m_{р}=0{,}08\cdot300=24\ г\)
3
Проверяем массу воды по закону сохранения массы.
\(\displaystyle m_{воды}=m_{р}-m_{соли}=300-24=276\ г\)
4
По плотности находим объём раствора.
\(\displaystyle V=\frac{m_{р}}{\rho}=\frac{300}{1{,}1}\approx272{,}7\ см^3\)
5
Вычисляем площадь основания цилиндра.
\(\displaystyle S=\pi r^2=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ см^2\)
6
Находим деңгей жидкости в сосуде постоянного сечения.
\(\displaystyle h=\frac{V}{S}=\frac{272{,}7}{78{,}5}\approx3{,}47\ см\)

Жауабы: масса соли — \(24\ г\), объём раствора — примерно \(273\ см^3\) немесе \(273\ мл\), деңгей жидкости — примерно \(3{,}5\ см\). Уровень меньше высоты сосуда, если его размеры допускают такой объём, значит результат согласуется с условием.

6. Проверка модели и типичные ошибки

В реальном смешивании объём иногда не равен простой сумме объёмов из-за изменения объёма при растворении. В школьных задачах это учитывают только при специальном указании. Если требуется высокая точность, учитывают погрешность измерений и не записывают лишние знаки после запятой.

!
Частые ошибки

1. Берут массовую долю от массы воды, а не от массы раствора. 2. Заменяют массу раствора массой растворённого вещества. 3. Используют плотность воды вместо плотности раствора. 4. Не переводят литры в миллилитры или килограммы в граммы. 5. Применяют \(V=Sh\) к сосуду с меняющимся сечением. 6. Складывают объёмы несмешивающихся жидкостей и считают их одним однородным раствором. 7. Округляют промежуточные значения слишком рано.

Если задача связана с несколькими сосудами или переливанием, отдельно отслеживайте массу и отдельно геометрию. Для измерения объёма вытесненной жидкости может применяться метод вытеснения. Если жидкость давит на дно или стенки, это уже дополнительная часть тапсырма о гидростатическом давлении немесе давлении жидкости, но сама связь массы, плотности и объёма остаётся прежней.

Q
Жылдам тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · массовая доля
Раствор массой 500 г содержит 40 г вещества. Какова массовая доля?
Главное за минуту

Главное

  • Массовая доля относится к массе всего раствора: \(w=m_{в}/m_{р}\).
  • Массу, плотность и объём связывает формула \(\rho=m/V\).
  • Для сосуда постоянного сечения деңгей находят по \(h=V/S\).
  • При смешивании сначала применяют сохранение массы, затем находят объём по плотности смеси.
  • Единицы измерения и форма сосуда нужно проверять до подстановки чисел.