Расчёт плотности смеси
Плотность смеси показывает, какая масса смеси приходится на единицу её общего объёма. Чтобы посчитать плотность смеси жидкостей или раствора, используют общий принцип закона сохранения массы: масса смеси равна сумме масс компонентов, а её объём находят по условию задачи.
Что такое плотность смеси
Плотность вещества — это отношение его массы к объёму. Плотность смеси равна отношению общей массы смеси к общему объёму смеси: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\).
Здесь \(\rho_{\text{см}}\) — плотность смеси, \(m_{\text{см}}\) — масса смеси, \(V_{\text{см}}\) — объём смеси. В СИ плотность измеряют в \(\text{кг}/\text{м}^3\), но в задачах о жидкостях часто используют \(\text{г}/\text{см}^3\) или \(\text{г}/\text{мл}\). Единицы всех величин перед вычислением нужно привести к согласованному виду.
Если смесь состоит из нескольких компонентов, то масса смеси равна сумме масс компонентов: \(m_{\text{см}}=m_1+m_2+\ldots\). Если объёмы при смешивании складываются, то \(V_{\text{см}}=V_1+V_2+\ldots\).
Для каждого компонента массу можно выразить через плотность и объём: \(m_i=\rho_iV_i\). Поэтому, если известны плотности и объёмы компонентов, применяют формулу:
Сложение объёмов — модель, используемая в большинстве школьных задач. Для некоторых растворов и жидкостей в реальности объём после смешивания может немного измениться. Если такое изменение не указано, считают, что объёмы складываются.
Алгоритм решения задачи
Перед решением определите, какие величины даны: массы компонентов, их объёмы, плотности или комбинация этих данных. Затем действуйте последовательно.
- Запишите формулу плотности смеси: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\).
- Найдите массу каждого компонента. Если она не дана, используйте \(m=\rho V\).
- Сложите массы: \(m_{\text{см}}=m_1+m_2+\ldots\).
- Найдите объём каждого компонента. Если он не дан, используйте \(V=\frac{m}{\rho}\).
- Сложите объёмы, если по условию они сохраняются: \(V_{\text{см}}=V_1+V_2+\ldots\).
- Разделите общую массу на общий объём и запишите единицу измерения.
Если даны масса и плотность одного компонента, его объём находят так: \(V=\frac{m}{\rho}\). Если даны объём и плотность, массу находят по формуле \(m=\rho V\). Не следует складывать плотности компонентов: плотность смеси не равна ни сумме, ни простому среднему плотностей.
Сначала составьте небольшую таблицу с колонками «компонент», «масса», «объём», «плотность». Так легче заметить пропущенную величину и не перепутать данные.
В сосуд налили \(200\ \text{мл}\) воды плотностью \(1\ \text{г}/\text{мл}\) и \(100\ \text{мл}\) масла плотностью \(0{,}8\ \text{г}/\text{мл}\). Чему равна плотность смеси, если объёмы складываются?
Разобранный пример
Смешали \(300\ \text{г}\) воды плотностью \(1\ \text{г}/\text{см}^3\) и \(200\ \text{г}\) спирта плотностью \(0{,}8\ \text{г}/\text{см}^3\). Найдите плотность смеси. Считать, что объёмы складываются.
Ответ: \(\rho_{\text{см}}\approx0{,}91\ \text{г}/\text{см}^3\). Полученное значение находится между плотностями воды и спирта, что является разумной проверкой результата.
Частные случаи и проверки
Если объёмы двух жидкостей равны, формула упрощается: \(\rho_{\text{см}}=\frac{\rho_1V+\rho_2V}{2V}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\). Поэтому при равных объёмах плотность смеси равна среднему арифметическому плотностей. Подробнее о таком случае см. страницу равных объёмах жидкостей.
Если массы компонентов равны, например \(m_1=m_2=m\), то \(V_1=m/\rho_1\) и \(V_2=m/\rho_2\). Тогда плотность смеси находят не средним арифметическим плотностей, а отношением общей массы к сумме объёмов. Для таких задач полезно отдельно выписать оба объёма.
Если объёмы складываются, плотность смеси из компонентов с плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\) должна находиться между меньшей и большей плотностями: \(\min(\rho_1,\rho_2)\le\rho_{\text{см}}\le\max(\rho_1,\rho_2)\). Равенство возможно, только если смесь фактически состоит из одного компонента или плотности компонентов одинаковы.
Для воды удобно помнить: \(1\ \text{г}/\text{см}^3=1000\ \text{кг}/\text{м}^3\). При переводе единиц массы и объёма нельзя менять только одну величину: например, граммы и кубические метры дают неудобную, но допустимую единицу, а ошибка возникает при неверном пересчёте.
1. Складывают плотности вместо масс и объёмов. 2. Используют формулу \(\rho=(\rho_1+\rho_2)/2\), хотя объёмы не равны. 3. Забывают найти объём компонента по \(V=m/\rho\). 4. Смешивают \(\text{мл}\) и \(\text{л}\) или \(\text{г}\) и \(\text{кг}\). 5. Не проверяют, что итоговая плотность лежит между плотностями компонентов. 6. Автоматически складывают объёмы, хотя в условии может быть указано изменение объёма.
Связь с другими задачами о растворах
Расчёт плотности смеси опирается на закон сохранения массы: вещество не исчезает при смешивании, поэтому масса раствора равна сумме масс растворителя и растворённого вещества. В более сложных задачах сначала находят массу воды, соли или другого компонента, а затем используют общий алгоритм. Такие задачи собраны на странице комплексных задач о растворах и воде.
Плотность можно определить экспериментально методом вытеснения: измеряют массу тела и объём жидкости или объём, вытесненный погружением. При работе с жидкостями также важно учитывать, смешиваются ли они: слои несмешивающихся жидкостей образуют отдельные слои, но для общей плотности системы всё равно применяют отношение общей массы к общему объёму.
Кратко
- Плотность смеси равна общей массе, делённой на общий объём: \(\rho_{\text{см}}=m_{\text{см}}/V_{\text{см}}\).
- Массы складываются всегда по закону сохранения массы; объёмы складываются, если это допускает условие.
- Неизвестные величины находят из \(m=\rho V\), \(V=m/\rho\) или \(\rho=m/V\).
- При равных объёмах можно использовать среднее арифметическое плотностей, но в общем случае нужно считать через общую массу и общий объём.
- Проверяйте единицы измерения и сравнивайте ответ с плотностями исходных компонентов.