Плотность смеси жидкостей
Плотность смеси жидкостей показывает, какая масса приходится на единицу объёма всей смеси. Её находят как отношение общей массы компонентов к общему объёму, если объёмы жидкостей после смешивания складываются.
Что такое плотность смеси
Для начала вспомним формулу плотности: плотность вещества равна отношению его массы к объёму. Если смешать несколько жидкостей, например воду и спирт, смесь будет иметь собственную массу, объём и плотность.
Плотность смеси жидкостей — это отношение общей массы всех компонентов к общему объёму смеси: \(\rho_{см}=\frac{m_{см}}{V_{см}}\).
Общая масса смеси складывается из масс компонентов. В простых задачах также считают, что объём смеси равен сумме объёмов жидкостей. Подробнее это свойство рассматривается на странице сложение объёмов.
Если при смешивании объёмы складываются, то плотность смеси равна отношению суммы масс компонентов к сумме их объёмов: \(\rho_{см}=\frac{m_1+m_2+\dots}{V_1+V_2+\dots}\).
Вывод формулы через плотности компонентов
Пусть смешали две жидкости. Для первой жидкости известны плотность \(\rho_1\) и объём \(V_1\), для второй — плотность \(\rho_2\) и объём \(V_2\). Нужно выразить плотность смеси только через эти величины.
Для трёх и более жидкостей формула имеет такой же смысл: в числителе складывают массы, записанные как произведения \(\rho_iV_i\), а в знаменателе — объёмы.
Плотность смеси жидкостей с положительными объёмами не может быть меньше наименьшей и больше наибольшей плотности компонентов: \(\rho_{min}\le\rho_{см}\le\rho_{max}\). Это позволяет быстро проверить ответ.
Как решать задачи
- Проверьте, какие величины даны: плотности, массы или объёмы компонентов.
- Приведите все величины к согласованным единицам. Например, если плотность дана в \(\text{кг/м}^3\), объём должен быть в \(\text{м}^3\).
- Найдите массу каждого компонента по формуле \(m_i=\rho_iV_i\), если массы не даны.
- Сложите массы и отдельно сложите объёмы.
- Разделите общую массу на общий объём.
- Проверьте единицы измерения и сравните результат с плотностями компонентов.
Если объёмы заданы в миллилитрах, а плотности — в граммах на миллилитр, переводить единицы не нужно: результат сразу получится в \(\text{г/мл}\). Также можно использовать \(1\ \text{г/мл}=1000\ \text{кг/м}^3\).
Смешали равные объёмы жидкостей плотностями \(800\ \text{кг/м}^3\) и \(1000\ \text{кг/м}^3\). Какая формула подходит для плотности смеси?
Разобранный пример
Смешали \(2\ \text{л}\) воды плотностью \(1000\ \text{кг/м}^3\) и \(3\ \text{л}\) масла плотностью \(800\ \text{кг/м}^3\). Найдём плотность смеси. Считаем, что объёмы складываются.
Показать решение Решение
Переведём литры в кубические метры: \(2\ \text{л}=0{,}002\ \text{м}^3\), \(3\ \text{л}=0{,}003\ \text{м}^3\).
Ответ: \(\rho_{см}=880\ \text{кг/м}^3\). Он находится между \(800\ \text{кг/м}^3\) и \(1000\ \text{кг/м}^3\), значит результат согласуется с правилом проверки.
Особые случаи и связь с другими задачами
Если массы компонентов известны напрямую, плотность можно найти без вычисления отдельных масс: \(\rho_{см}=\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\). Если для каждого компонента известны масса и плотность, сначала находят объём по формуле \(V=\frac{m}{\rho}\).
При равных объёмах двух жидкостей формула упрощается. Это частный случай, разобранный на странице равные объёмы жидкостей: \(\rho_{см}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\). Но при неравных объёмах простое среднее арифметическое использовать нельзя.
Такая же логика применяется при нахождении плотности сплава: общую массу делят на общий объём. Сравнить методы можно на странице плотность сплава. Более подробный алгоритм вычислений приведён в статье расчёт плотности смеси, а связь с понятием средней плотности — в статье средняя плотность смеси.
1. Нельзя складывать плотности вместо масс. 2. Нельзя делить сумму плотностей на два, если объёмы не равны. 3. Нельзя смешивать литры с кубическими метрами без перевода. 4. Нельзя забывать, что в знаменателе стоит общий объём, а не объём одного компонента. 5. Если вещества взаимодействуют и объём не складывается, формула требует уточнения по условию.
| Дано | Что используем | Результат |
|---|---|---|
| Плотности и объёмы | \(m_i=\rho_iV_i\) | \(\rho_{см}=\frac{\sum\rho_iV_i}{\sum V_i}\) |
| Массы и объёмы | Определение плотности | \(\rho_{см}=\frac{\sum m_i}{\sum V_i}\) |
| Равные объёмы двух жидкостей | Частный случай общей формулы | \(\rho_{см}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}\) |
Проверь себя
Главное
- Плотность смеси равна общей массе, делённой на общий объём: \(\rho_{см}=\frac{m_{см}}{V_{см}}\).
- Если известны плотности и объёмы компонентов, используют формулу \(\rho_{см}=\frac{\sum\rho_iV_i}{\sum V_i}\).
- При равных объёмах двух жидкостей плотность смеси равна среднему арифметическому плотностей.
- Все единицы нужно привести к согласованному виду.
- Ответ обязательно проверяют: плотность смеси должна находиться между наименьшей и наибольшей плотностями компонентов.