График по таблице
График по таблице — это способ представить числовые данные на координатной плоскости. Он помогает быстро увидеть зависимость между величинами, найти значение одной величины по другой и проверить, как изменяется результат.
Что показывает график по таблице
Сначала нужно понять, какие величины записаны в таблице. Обычно одна величина считается независимой: её значение задают или выбирают. Её откладывают по горизонтальной оси \(x\). Вторую величину называют зависимой: она определяется первой. Её откладывают по вертикальной оси \(y\). Например, в таблице может быть указано время движения \(t\) и пройденный путь \(s\). Время — независимая величина, а путь зависит от времени.
График зависимости — это множество точек на координатной плоскости, каждая из которых соответствует паре значений \((x; y)\) из таблицы. По графику можно определить, как изменяется \(y\) при изменении \(x\).
Перед построением полезно обратиться к таблице данных и проверить заголовки столбцов, единицы измерения и порядок величин. Затем нужно повторить правила осей координат: начало отсчёта, направление положительных значений и масштаб.
- Определите, какую величину откладывают по оси \(x\), а какую — по оси \(y\).
- Подпишите оси и укажите единицы измерения.
- Выберите удобный и равномерный масштаб по каждой оси.
- Для каждой строки таблицы составьте точку \((x; y)\).
- Нанесите все точки на координатную плоскость.
- Соедините точки, если по условию величина изменяется непрерывно или требуется линейный график.
Строка таблицы с парой значений \(x\) и \(y\) задаёт одну точку \((x; y)\). Нельзя менять значения местами: точка \((x; y)\) обычно не совпадает с точкой \((y; x)\).
Масштаб, точки и соединение
Масштаб показывает, сколько единиц величины соответствует одному делению или клетке. Масштаб по оси \(x\) и по оси \(y\) может быть разным, но внутри одной оси он должен оставаться равномерным. Если значения в таблице равны 0, 5, 10, 15, удобно взять одно крупное деление за 5 единиц. Если выбрать слишком мелкий масштаб, часть точек может не поместиться; слишком крупный масштаб затруднит точное чтение.
Точку отмечают сначала по координате \(x\), затем проводят мысленно вертикаль к нужному значению \(y\). Например, точка \((3; 8)\) находится над отметкой \(x=3\) и на уровне \(y=8\). Такой порядок связан с темой координат точки.
Соединять точки отрезками можно, если между табличными значениями предполагается плавное или равномерное изменение величины. Так строят линейный график. Если данные получены только для отдельных объектов или моментов, точки иногда оставляют несоединёнными. Нельзя автоматически проводить кривую, если условие не говорит о непрерывной зависимости.
В таблице указана пара значений \(x=4\), \(y=7\). Какую точку нужно нанести на график?
Как читать график
Оқылым графика — обратная тапсырма по отношению к построению. Если дано значение \(x\), нужно найти на оси \(x\) соответствующую отметку, подняться до графика и определить значение \(y\) по вертикальной координате. Если дано значение \(y\), действуют наоборот: отыскивают его на оси \(y\), проводят мысленно горизонталь до графика, а затем находят \(x\).
Проводите мысленные или вспомогательные линии строго параллельно осям. Сначала считывайте положение точки по одной оси, затем по другой. Не определяйте значение «на глаз», если оно попадает между делениями: используйте масштаб.
Иногда на графике требуется найти, при каком значении \(x\) величина \(y\) равна заданному числу. Это называют чтением аргумента по значению функции. Возможны ситуации, когда одному значению \(x\) соответствуют разные значения \(y\): тогда график не задаёт \(y\) как однозначную функцию. В школьных заданиях обычно нужно внимательно проверить условие и направление чтения.
Как определить зависимость
График позволяет описать характер изменения величины. Если при увеличении \(x\) значения \(y\) растут, зависимость возрастающая. Если \(y\) уменьшается, зависимость убывающая. Горизонтальный участок означает, что \(y\) не изменяется. Чем круче поднимается прямая, тем быстрее возрастает \(y\) при изменении \(x\), но сравнивать крутизну можно только с учётом масштабов осей.
Если отношение \(\frac{y}{x}\) постоянно и \(y=kx\), то зависимость является прямой пропорциональностью. Её график — прямая, проходящая через начало координат \((0;0)\).
Для линейной зависимости с ненулевым начальным значением используют формулу \(y=kx+b\). Число \(b\) показывает значение \(y\) при \(x=0\), а коэффициент \(k\) — изменение \(y\) при увеличении \(x\) на одну единицу. Формулу можно восстановить по таблице, если изменения величин постоянны. Это связано со страницей «Формула в таблице».
Разобранный пример
В таблице записан путь велосипедиста: за \(0\), \(2\), \(4\) и \(6\) минут он проехал соответственно \(0\), \(300\), \(600\) и \(900\) метров. Нужно построить график и определить путь через \(5\) минут.
Жауабы: через 5 минут велосипедист проедет \(750\) м. Коэффициент \(150\ \text{м/мин}\) означает, что каждую минуту путь увеличивается на 150 м. В этом примере таблица обработана последовательно: значения прочитаны по строкам, точки сопоставлены и затем нанесены на график. Дополнительные приёмы разобраны на странице «Построение графика».
Проверка построенного графика
После построения проверьте результат. Число точек должно совпадать с числом строк, содержащих пары данных. Каждая точка должна иметь правильные координаты. Подписи осей должны соответствовать заголовкам таблицы, а единицы — единицам в условии. Если точки лежат на одной прямой, сравните разности соседних значений: при равных изменениях \(x\) одинаковые изменения \(y\) подтверждают линейную зависимость.
- Оси подписаны буквами величин и единицами измерения.
- Масштаб равномерный и позволяет разместить все данные.
- Координаты точек не перепутаны.
- Для непрерывной зависимости точки соединены в правильном порядке.
- Полученные по графику значения согласуются с таблицей.
Перепутаны оси. Если время и путь поменять местами, получится другая зависимость. Нарушен масштаб. Равные расстояния на оси должны соответствовать равным изменениям величины. Пропущена точка. Одна жол таблицы — одна точка. Қате соединены точки. Нельзя соединять их в произвольном порядке или проводить линию через все точки, если это не следует из условия. Забыты единицы. Число без единицы измерения может быть неполным ответом.
Quick-test
Итоговая проверка
Главное
- Табличные пары \((x;y)\) превращаются в точки на координатной плоскости.
- Независимую величину обычно откладывают по оси \(x\), зависимую — по оси \(y\).
- Нужно соблюдать масштаб, подписывать оси и указывать единицы измерения.
- По графику можно найти значение одной величины при известном значении другой и определить характер зависимости.
- Для прямой пропорциональности используется формула \(y=kx\), а её график проходит через начало координат.