Задание № 21 · ОГЭ

Законы Кеплера

Три закона движения планет и их применение к орбитальному движению

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Законы Кеплера описывают движение планет вокруг Солнца и помогают сравнивать орбиты спутников, планет и космических аппаратов. Они связывают форму орбиты, скорость движения тела и период обращения; физическое объяснение этих закономерностей даёт закон всемирного тяготения.

1. Первый закон: форма орбиты

Планеты движутся вокруг Солнца не по окружностям, а по эллипсам. Солнце находится в одном из двух особых мест эллипса — его фокусов. Для большинства планет эллипс мало отличается от окружности, но для расчётов орбитальных аппаратов это различие важно.

Эллипс и его элементы

Эллипс — замкнутая кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фокусов постоянна. Точка орбиты, ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а наиболее удалённая — афелием. Для движения спутника вокруг Земли используют названия перигей и апогей.

Эллиптическая орбита: Солнце расположено в одном из фокусов.

\[r_{\text{пер}}=a(1-e),\qquad r_{\text{аф}}=a(1+e)\]1

Здесь \(a\) — большая полуось эллипса, а \(e\) — эксцентриситет, характеризующий вытянутость орбиты. Для окружности \(e=0\), для эллипса \(0<e<1\). Из формулы видно, что расстояние до Солнца изменяется во время движения.

2. Второй закон: площади за равные времена

Второй закон Кеплера

Радиус-вектор планеты, проведённый от Солнца к планете, за равные промежутки времени описывает равные площади. Поэтому планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него.

Радиус-вектор — отрезок от центра притяжения до движущегося тела. Если за время \(\Delta t\) он заметает площадь \(\Delta S\), то отношение площади к времени постоянно:

\[\frac{\Delta S}{\Delta t}=\text{const}\]2

Вблизи перигелия расстояние \(r\) меньше, поэтому за то же время тело должно пройти больший угол и иметь большую линейную скорость. Вблизи афелия скорость меньше. Это проявление сохранения момента импульса, которое подробно связано с динамикой вращательного движения.

За равные времена радиус-вектор заметает равные площади.

Проверь себя

В какой точке эллиптической орбиты скорость планеты максимальна?

3. Третий закон: период и размер орбиты

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Для тел, обращающихся вокруг одного и того же центрального тела, величина \(T^2/a^3\) постоянна.

\[\frac{T_1^2}{a_1^3}=\frac{T_2^2}{a_2^3}=\text{const},\qquad T^2\sim a^3\]3

\(T\) — период обращения, то есть время одного полного оборота, а \(a\) — большая полуось орбиты. Если орбита почти круговая, можно считать \(a\) равной радиусу \(r\). Тогда:

\[\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}\]4

Следовательно, более удалённый спутник обращается дольше. Закон применим к планетам вокруг Солнца, спутникам вокруг Земли и искусственным спутникам вокруг других небесных тел. Для орбит вокруг одного и того же тела он особенно удобен в сравнительных задачах.

\(T\)

период обращения

\(a\)

большая полуось орбиты

\(r\)

радиус круговой орбиты

\(e\)

эксцентриситет

\(S\)

площадь

м²

4. Применение к круговым орбитам

Для круговой орбиты \(a=r\). Третий закон Кеплера можно получить из равенства гравитационной силы и центростремительной силы. Гравитационное взаимодействие обеспечивает движение спутника по орбите:

\[G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\]5

Здесь \(M\) — масса центрального тела, \(m\) — масса спутника, \(G\) — гравитационная постоянная, \(v\) — орбитальная скорость. Масса спутника сокращается: при одинаковой орбите период не зависит от массы самого спутника.

Выразим скорость кругового движения из равенства сил.

\(\displaystyle v^2=\frac{GM}{r}\)

Период связан со скоростью: за один оборот тело проходит длину окружности \(2\pi r\).

\(\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v}\)

Подставим скорость в формулу периода и возведём в квадрат.

\(\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2r^2}{v^2}=\frac{4\pi^2r^3}{GM}\)

Получаем форму третьего закона для одного центрального тела.

\(\displaystyle \frac{T^2}{r^3}=\frac{4\pi^2}{GM}=\text{const}\)

№

Разобранный пример: сравнение периодов

Спутник 1 движется по круговой орбите радиуса \(r_1=R\), а спутник 2 — по орбите радиуса \(r_2=4R\) вокруг одной и той же планеты. Найдём отношение периодов.

Показать решение Решение

Используем третий закон Кеплера для круговых орбит:

\[\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}\]

Перенесём величины и выразим отношение квадратов периодов.

\(\displaystyle \frac{T_2^2}{T_1^2}=\frac{r_2^3}{r_1^3}\)

Подставим \(r_2=4R\) и \(r_1=R\).

\(\displaystyle \frac{T_2^2}{T_1^2}=\frac{(4R)^3}{R^3}=64\)

Извлечём квадратный корень.

\(\displaystyle \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{64}=8\)

Ответ: период второго спутника в 8 раз больше периода первого. Обратите внимание: увеличение радиуса в 4 раза приводит к увеличению периода не в 4, а в \(4^{3/2}=8\) раз.

Частые ошибки

1. Путают \(r\) и \(a\): для эллипса в третьем законе используется большая полуось, а не любое текущее расстояние до Солнца. 2. Забывают возвести отношение радиусов в степень \(3/2\). 3. Считают скорость постоянной на эллиптической орбите. 4. Сравнивают тела, обращающиеся вокруг разных центральных тел, без учёта их масс. 5. Подставляют период в часах, а радиус в километрах: в вычислениях нужно привести величины к согласованным единицам СИ.

Как решать задачи

Сначала определите, вокруг какого тела движутся объекты. Затем проверьте форму орбиты: для окружности используйте \(r\), для эллипса — \(a\). Если требуется только сравнение, применяйте отношение \(T^2/a^3=\text{const}\) и не вычисляйте \(G\) или массу центрального тела.

Связь с энергией и скоростью

На орбите планета или спутник постоянно меняют направление скорости, поэтому даже при круговом движении существует ускорение. При эллиптическом движении меняется и модуль скорости. Эти изменения удобно объяснять через работу и энергию при движении: при приближении к центральному телу потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. Для ухода из гравитационного поля важны результаты, приведённые на странице вывода второй космической скорости.

Быстрый тест по теме

Итоговая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · Первый закон

Где находится Солнце по первому закону Кеплера?

Главное за минуту

Главное

Первый закон: орбита планеты — эллипс, а Солнце находится в одном из его фокусов.
Второй закон: за равные времена радиус-вектор заметает равные площади; скорость максимальна в перигелии и минимальна в афелии.
Третий закон: для одного центрального тела \(T^2/a^3=\text{const}\).
Для круговой орбиты \(a=r\), а \(T^2=4\pi^2r^3/(GM)\).
В задачах на сравнение сначала проверьте, что тела обращаются вокруг одного и того же центрального тела.