Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения позволяет рассчитывать силу взаимного притяжения любых тел, если известны их массы и расстояние между центрами. Он объясняет падение тел, движение планет и спутников и является основой для задач на зависимость силы от расстояния.

Содержание закона

Любые два тела притягиваются друг к другу. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел, и действует на оба тела одновременно. В соответствии с законами Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению.

Здесь \(F\) — модуль силы гравитационного взаимодействия, \(m_1\) и \(m_2\) — массы тел, \(r\) — расстояние между их центрами, \(G\) — гравитационная постоянная. В школьных задачах тела часто считают материальными точками. Для однородных шаров или сферически симметричных тел формула также применяется, если \(r\) измеряют между центрами.

Зависимость силы от масс и расстояния

Из формулы видно: если одну массу увеличить в \(k\) раз, сила увеличится в \(k\) раз. Если обе массы увеличить в \(k\) раз, сила увеличится в \(k^2\) раз. При неизменных массах сила зависит от расстояния как \(1/r^2\).

Например, при увеличении расстояния в 2 раза сила уменьшается в \(2^2=4\) раза; при увеличении расстояния в 3 раза — в 9 раз. Если расстояние уменьшить в 2 раза, сила возрастёт в 4 раза. Важно изменять именно расстояние между центрами тел, а не расстояние между ближайшими поверхностями.

Направление сил и связь с силой тяжести

Гравитационное взаимодействие является центральным: сила направлена вдоль линии центров. На каждое тело действует отдельная сила. Если Земля притягивает тело с силой \(F\), тело притягивает Землю с такой же по модулю силой \(F\), но в противоположную сторону.

У поверхности Земли формулу закона можно связать с выражением \(F=mg\). Если тело массой \(m\) находится на расстоянии \(R\) от центра Земли, то

Здесь \(M\) — масса Земли, \(R\) — расстояние от центра Земли до тела. Поэтому ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса планеты, но для одного и того же места практически не зависит от массы падающего тела. Подробнее изменение \(g\) с высотой рассматривают на странице изменение ускорения свободного падения с высотой.

Разбор тапсырма на изменение силы

Жауабы: сила увеличилась в \(1{,}5\) раза, или на 50 %. Удобный способ — отдельно учитывать множители: массы дают множитель \(2\cdot3=6\), расстояние даёт множитель \(1/2^2=1/4\), общий множитель равен \(6/4=1{,}5\).

Алгоритм шешімдер тапсырма

1. Выпишите известные величины и переведите их в СИ: массы — в килограммы, расстояние — в метры.
2. Определите, требуется ли найти силу по формуле или сравнить две силы. Для сравнения часто достаточно отношений.
3. Запишите \(F=Gm_1m_2/r^2\) или отношение \(F'/F\).
4. Если тела находятся у поверхности планеты, проверьте, можно ли использовать \(F=mg\).
5. Подставьте числа, проверьте единицы и оцените результат по порядку величины.

Условия применимости

В школьной механике закон применяют к материальным точкам, а также к телам, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Для сферически симметричных тел взаимодействие можно рассчитывать так, будто вся масса сосредоточена в центре. Если форма тел сложная или они находятся очень близко, простая формула может быть недостаточна.

Закон всемирного тяготения используют при изучении движения планет, спутников и гравитационного поля. Для движения по круговой орбите он сочетается со вторым законом Ньютона; получаемые скорости рассматриваются на страницах орбитальная скорость и первая космическая скорость.