Вывод первой космической скорости
Первая космическая скорость — это минимальная горизонтальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности небесного тела, чтобы оно стало его искусственным спутником и двигалось по круговой орбите. Ниже выведем эту скорость, приравняв силу тяготения к центростремительной силе.
Физическая модель и основные понятия
Рассмотрим спутник массой \(m\), движущийся по круговой орбите радиуса \(r\) вокруг планеты массой \(M\). Центр планеты совпадает с центром окружности. Радиус орбиты измеряется от центра планеты, а не от её поверхности.
Первая космическая скорость \(v_1\) — это скорость, при которой тело у поверхности планеты может двигаться по круговой орбите под действием только силы тяготения, если сопротивлением атмосферы пренебречь.
При равномерном движении по окружности равнодействующая сил направлена к центру окружности и имеет значение центростремительной силы. В рассматриваемой модели эту роль выполняет сила всемирного тяготения.
Сначала нужно знать закон всемирного тяготения. Он утверждает, что два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами масс.
Для движения спутника по окружности используется центростремительная сила. Она не является отдельной новой силой: это название равнодействующей, направленной к центру окружности. При скорости \(v\) её модуль равен:
Вывод орбитальной скорости
Спутник удерживается на круговой орбите потому, что сила тяготения непрерывно изменяет направление его скорости. В каждый момент сила тяготения направлена к центру планеты, то есть совпадает с направлением центростремительной силы.
Это общая формула скорости тела на круговой орбите вокруг планеты. Чем больше масса центрального тела \(M\), тем больше скорость. Чем дальше орбита от центра планеты, тем скорость меньше: она убывает как \(1/\sqrt r\).
Почему масса спутника не входит в итоговую формулу орбитальной скорости?
Первая космическая скорость у поверхности планеты
Если спутник движется непосредственно над поверхностью планеты, радиус его орбиты приблизительно равен радиусу планеты \(R\). Тогда из формулы (1) получаем первую космическую скорость:
В задачах часто дана не масса планеты, а ускорение свободного падения \(g\). Из закона тяготения для тела у поверхности планеты следует:
Выразим произведение \(GM\): \(GM=gR^2\). Подставим его в формулу первой космической скорости:
Для поверхности планеты используйте \(v_1=\sqrt{GM/R}\) или \(v_1=\sqrt{gR}\). Для орбиты на высоте \(h\) над поверхностью радиус орбиты равен \(r=R+h\), поэтому \(v=\sqrt{GM/(R+h)}\).
Формула показывает, что первая космическая скорость определяется свойствами планеты, а не массой запускаемого тела. Если высота орбиты заметна по сравнению с радиусом планеты, нельзя подставлять вместо \(R+h\) только \(R\).
Разобранный пример
Планета имеет радиус \(R=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}\) и ускорение свободного падения у поверхности \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\). Найдём скорость спутника на высоте \(h=400\ \text{км}\). Сопротивлением атмосферы пренебречь.
- Переведём высоту в СИ: \(h=400\ \text{км}=4{,}0\cdot10^5\ \text{м}\).
- Определим расстояние от центра планеты до спутника: \(r=R+h=6{,}4\cdot10^6+4{,}0\cdot10^5=6{,}8\cdot10^6\ \text{м}\).
- Найдём произведение \(GM\) через известное ускорение свободного падения: \(GM=gR^2\).
- Подставим в общую формулу: \(v=\sqrt{GM/r}=\sqrt{gR^2/r}\).
- Выполним вычисление: \(v=\sqrt{9{,}8\cdot(6{,}4\cdot10^6)^2/(6{,}8\cdot10^6)}\approx7{,}65\cdot10^3\ \text{м/с}\).
Ответ: скорость спутника на высоте \(400\ \text{км}\) примерно равна \(7{,}65\ \text{км/с}\). Она немного меньше скорости у поверхности, потому что орбита находится дальше от центра планеты.
1) Берут расстояние \(h\) вместо \(r=R+h\): в законе тяготения расстояние отсчитывается от центра планеты. 2) Используют диаметр вместо радиуса. 3) Забывают перевести километры в метры. 4) Приравнивают силу тяготения к \(mv^2\) без деления на радиус. 5) Считают, что спутник неподвижен: на круговой орбите он движется с большой горизонтальной скоростью. 6) Путают первую космическую скорость со второй: вторая нужна для ухода из поля тяготения и больше первой.
В формуле \(v=\sqrt{GM/r}\) единицы под корнем должны дать \(\text{м}^2/\text{с}^2\). Действительно, \(G M/r=(\text{Н·м}^2/\text{кг}^2)\cdot\text{кг}/\text{м}=\text{м}^2/\text{с}^2\), а после извлечения корня получается \(\text{м/с}\).
Алгоритм решения задач
- Определите, дана ли орбита у поверхности или на высоте \(h\).
- Запишите расстояние до центра планеты: \(r=R\) или \(r=R+h\).
- Выберите формулу \(v=\sqrt{GM/r}\) либо замените \(GM\) на \(gR^2\).
- Переведите все величины в единицы СИ.
- Проверьте единицы ответа и разумность результата: для более высокой круговой орбиты скорость должна быть меньше.
Итоговая проверка
Главное
- Для круговой орбиты сила тяготения равна центростремительной силе: \(G Mm/r^2=mv^2/r\).
- Орбитальная скорость определяется формулой \(v=\sqrt{GM/r}\) и не зависит от массы спутника.
- У поверхности планеты первая космическая скорость равна \(v_1=\sqrt{GM/R}=\sqrt{gR}\).
- Для высоты \(h\) над поверхностью нужно брать \(r=R+h\).
- Главные проверки: расстояние отсчитывается от центра, все данные переведены в СИ, скорость имеет единицу \(\text{м/с}\) и уменьшается с высотой.