Сложение движений
Сложение движений позволяет находить скорость и перемещение тела, если оно одновременно участвует в нескольких движениях или рассматривается из разных систем отсчёта. Главный принцип темы: в классической механике скорости и перемещения складываются векторно, поэтому важно учитывать не только их числовые значения, но и направления.
Система отсчёта и относительное движение
Чтобы описать движение, выбирают тело отсчёта, систему координат и часы. Совокупность этих элементов называют системой отсчёта. Координаты, траектория, скорость и перемещение тела могут иметь разные значения в разных системах отсчёта.
Сложение движений — определение движения тела относительно неподвижной системы через его движение относительно подвижной системы и движение самой подвижной системы.
Рассмотрим тело A, движущееся относительно тела B, а тело B — относительно тела O. Например, пассажир идёт по вагону, вагон движется относительно Земли. Земля — неподвижная система отсчёта, вагон — подвижная, пассажир движется относительно вагона.
Скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме его скорости относительно подвижной системы и скорости подвижной системы относительно неподвижной.
Здесь \(\vec v_{A/O}\) — скорость A относительно O, \(\vec v_{A/B}\) — скорость A относительно B, \(\vec v_{B/O}\) — скорость B относительно O. Индексы читают так: первый символ обозначает движущееся тело, второй — тело или систему отсчёта, относительно которой рассматривают движение.
Сложение перемещений
За один и тот же промежуток времени тело может получить перемещение относительно подвижной системы, а сама система — перемещение относительно неподвижной. Полное перемещение тела находят сложением этих векторов.
Формула справедлива для любых направлений. Если движения происходят вдоль одной прямой, векторы заменяют алгебраическими величинами: выбирают положительное направление оси и приписывают перемещениям и скоростям знаки «плюс» или «минус».
При совпадении направлений скорости складываются по модулю: \(v=v_1+v_2\). При противоположных направлениях одна скорость считается отрицательной, поэтому \(v=v_1-v_2\) для выбранного положительного направления.
Если направления взаимно перпендикулярны, применяют теорему Пифагора, а направление результирующей скорости находят по тригонометрии.
Разбор тапсырма: пассажир в движущемся вагоне
Вагон движется относительно Земли со скоростью \(v_{B/O}=10\ \text{м/с}\). Пассажир идёт по вагону в том же направлении со скоростью \(v_{A/B}=1{,}5\ \text{м/с}\). Найдите скорость пассажира относительно Земли и его перемещение за \(20\ \text{с}\).
Если пассажир идёт против движения вагона со скоростью \(1{,}5\ \text{м/с}\), его скорость относительно Земли будет \(10-1{,}5=8{,}5\ \text{м/с}\) в направлении движения вагона. Если скорость пассажира равна скорости вагона, он неподвижен относительно Земли.
Лодка плывёт относительно воды со скоростью \(3\ \text{м/с}\) на север, а течение несёт воду со скоростью \(4\ \text{м/с}\) на восток. Чему равна скорость лодки относительно берега?
Встречное движение, движение вдогонку и точка встречи
В задачах на два тела удобно выбрать одну ось и записать координаты каждого тела. Для первого тела \(x_1=x_{10}+v_1t\), для второго \(x_2=x_{20}+v_2t\). Встреча происходит в момент, когда их координаты равны: \(x_1=x_2\). Подробные частные случаи разобраны на страницах встречное движение и движение вдогонку, а искомое место называют точкой встречи.
При движении навстречу скорость сближения равна сумме модулей скоростей: \(v_{сбл}=v_1+v_2\). При движении вдогонку — разности большей и меньшей скоростей: \(v_{сбл}=|v_1-v_2|\). Тогда время сближения можно найти как \(t=s_0/v_{сбл}\), где \(s_0\) — начальное расстояние.
1. Складывать модули скоростей без учёта направлений. 2. Забывать, относительно какой системы дана скорость. 3. Подставлять километры в час вместе с секундами: сначала переведите \(\text{км/ч}\) в \(\text{м/с}\), разделив на \(3{,}6\). 4. Путать путь и перемещение: путь — скаляр, перемещение — вектор. 5. При встречном движении использовать разность скоростей вместо суммы.
Сначала изобразите направления движения. Затем выберите положительную ось, подпишите все скорости относительно соответствующих систем, замените векторы проекциями и только после этого подставляйте числа.
Как связаны скорость и перемещение
При постоянной скорости перемещение за время \(t\) равно \(\vec s=\vec vt\). При изменяющейся скорости это соотношение используют только для среднего движения или заменяют анализом графика скорости. Площадь под графиком \(v(t)\) с учётом знака равна перемещению тела.
Эта тема является основой для кинематического анализа движения. При движении по окружности направление скорости меняется, поэтому отдельно изучают нормальное ускорение и тангенциальное ускорение.
Быстрая проверка
Главное
- Скорость и перемещение складываются как векторы: учитывайте величину и направление.
- Основная формула: \(\vec v_{A/O}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/O}\).
- Для одной прямой выберите положительное направление и используйте знаки проекций.
- При встречном движении скорости сближения складываются, при движении вдогонку — вычитаются.
- Встречу двух тел находят из равенства их координат в один и тот же момент времени.