Сила трения в сложных системах
В задачах на несколько связанных тел трение может одновременно удерживать одно тело в покое и тормозить другое при скольжении. Главный принцип решения: сначала определить возможный режим движения, затем для каждого тела отдельно изобразить силы и записать второй закон Ньютона.
1. Какие силы учитывать
Рассмотрим систему из брусков, связанных нитью, лежащих на горизонтальной или наклонной опоре. На каждое тело могут действовать сила тяжести \(mg\), реакция опоры \(N\), сила натяжения нити \(T\), внешняя сила и сила трения. Направление трения всегда противоположно относительному движению или его возможному направлению.
Сила трения — сила взаимодействия соприкасающихся поверхностей, направленная вдоль поверхности контакта. При скольжении её модуль равен \(F_{тр}=\mu N\), где \(\mu\) — коэффициент трения, а \(N\) — сила нормальной реакции опоры. Подробное базовое определение см. на странице «Сила трения».
Трение покоя препятствует началу скольжения и принимает нужное значение от нуля до предельного: \(0\le F_{тр.п}\le \mu N\). Трение скольжения возникает после начала движения и обычно имеет модуль \(F_{тр.ск}=\mu N\). Перед решением полезно повторить силу трения покоя и способы нахождения коэффициента трения.
2. Алгоритм решения системы тел
- Выберите тела и мысленно разделите систему на отдельные объекты. Для каждого тела действуют собственные уравнения.
- Нарисуйте силы. Не переносите силу трения с одного тела на другое: сила трения действует только в месте контакта и на каждое тело направлена противоположно.
- Определите предполагаемое направление движения. Если тело движется вправо, сила трения на нём направлена влево; если оно движется влево — наоборот.
- Разложите силы по удобным осям. На наклонной плоскости удобно выбрать оси вдоль и перпендикулярно плоскости.
- Запишите второй закон Ньютона для каждого тела: сумма проекций сил равна \(ma\).
- Если тела связаны нерастяжимой невесомой нитью, используйте одинаковое по модулю ускорение. Условия для таких связей разобраны на странице «Невесомые связи».
- Для трения покоя сначала найдите требуемую силу трения из уравнений, а затем проверьте неравенство \(F_{тр.п}\le\mu N\). Если оно нарушено, покой невозможен и нужно решать задачу для скольжения.
Если система движется как единое целое, иногда удобно записать второй закон сразу для всей системы. Тогда внутренние силы, например натяжения нити и пары сил трения между телами, взаимно сокращаются. Но силу трения между телом и опорой нужно оставить: она внешняя для выбранной системы.
Если по предположению тела покоятся, решите уравнения равновесия и найдите требуемые силы трения. Покой возможен только при выполнении всех условий \(F_{тр.п}\le\mu N\). Если хотя бы для одного контакта требуется больше предельного значения, начинается скольжение; тогда используют \(F_{тр.ск}=\mu N\).
3. Наклонная плоскость и несколько контактов
На наклонной плоскости сила тяжести раскладывается на составляющие: вдоль плоскости \(mg\sin\alpha\) и перпендикулярно ей \(mg\cos\alpha\). Если других перпендикулярных сил нет, то \(N=mg\cos\alpha\), а сила трения скольжения равна \(\mu mg\cos\alpha\).
Для системы с несколькими соприкасающимися телами сначала находят реакцию каждой опоры. Она может отличаться для разных тел, поэтому нельзя автоматически подставлять одну и ту же величину \(N\) во все формулы. Если одно тело давит на другое, эта дополнительная сила изменяет реакцию нижней опоры.
Если требуется только ускорение, рассмотрите все тела вместе: натяжение нити и внутренние силы контакта исчезнут из уравнения системы. Если требуется натяжение или сила взаимодействия, составьте отдельные уравнения для тел. Такой приём связан с темой движения системы связанных тел.
Брусок движется вправо по горизонтальной шероховатой поверхности. Куда направлена сила трения?
4. Разобранный пример: брусок и подвешенный груз
Брусок массой \(m_1=2\,\text{кг}\) лежит на горизонтальной шероховатой поверхности и связан нитью через блок с подвешенным грузом массой \(m_2=1\,\text{кг}\). Коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью \(\mu=0{,}2\). Найдём ускорение системы и натяжение нити. Примем \(g=10\,\text{м/с}^2\).
Подвешенный груз тянет брусок вправо, поэтому брусок движется вправо, а груз — вниз. На бруске трение направлено влево. Нить невесома и нерастяжима, поэтому ускорения тел равны по модулю. Сначала проверим, что движение действительно начнётся: предельная сила трения покоя равна \(\mu m_1g=4\,\text{Н}\), а вес груза равен \(10\,\text{Н}\); значит, покой невозможен.
Ответ: \(a=2\,\text{м/с}^2\), натяжение нити \(T=8\,\text{Н}\). Если бы в условии спрашивалась сила реакции опоры на наклонной плоскости, понадобилось бы отдельно разложить силы; этот приём подробно используется в теме реакции опоры на наклонной плоскости.
5. Частые ошибки и дополнительные проверки
1. Считать трение покоя всегда равным \(\mu N\). На самом деле это только максимальное значение. 2. Направлять трение по направлению внешней силы, а не против скольжения. 3. Использовать одну силу трения для всей системы, хотя контактов несколько. 4. Забывать, что при вертикальном движении подвешенного груза его вес входит в уравнение со знаком выбранной оси. 5. Сразу подставлять формулу трения скольжения, не проверив, начиналось ли движение.
Знак ускорения зависит от выбранного положительного направления. Отрицательное значение не означает ошибку: оно показывает, что настоящее движение направлено противоположно предположению. Для задач, где система сначала движется, а затем останавливается, используйте графики ускорения и скорости и проверяйте момент смены режима.
Трение покоя — неизвестная сила, ограниченная сверху: \(F_{тр.п}\le\mu N\). Трение скольжения — сила с известным модулем \(F_{тр.ск}=\mu N\). Сначала выбирают режим и направления, затем записывают уравнения Ньютона.
Проверь себя
Главное
- Для каждого тела отдельно изобразите силы и выберите оси.
- Трение покоя находят из уравнений и проверяют неравенством \(F_{тр.п}\le\mu N\).
- При скольжении используют \(F_{тр.ск}=\mu N\), направленную против относительного движения.
- Для нерастяжимой невесомой нити ускорения связанных тел равны по модулю.
- Чтобы найти ускорение системы, можно сложить уравнения и сократить внутренние силы; для натяжения нужны отдельные уравнения.