Равноускоренное движение
Равноускоренное движение — это движение, при котором скорость тела за равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. В конспекте собраны основные формулы, связь графиков \(x(t)\), \(v(t)\) и \(a(t)\), а также алгоритм шешімдер типовых тапсырма.
1. Определение и основные величины
Чтобы описывать движение, выбирают ось координат, начало отсчёта и момент времени \(t=0\). Положение тела задаётся координатой \(x\), а изменение положения — вектором перемещения. В задачах на прямолинейное движение обычно достаточно считать перемещение алгебраической величиной: знак показывает направление относительно выбранной оси.
Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно: \(\vec a=\mathrm{const}\). Это означает, что за одинаковые промежутки времени скорость изменяется одинаково и направлена вдоль одной прямой с постоянным ускорением.
Если положительное направление оси совпадает с направлением ускорения, \(a>0\); если противоположно — \(a<0\). Отрицательное ускорение не обязательно означает замедление: тело может двигаться в отрицательном направлении и при этом ускоряться.
Начальная скорость — это скорость в момент \(t=0\): \(v_0=v(0)\). Подробнее о выборе и смысле этой величины см. страницу начальная скорость. При прямолинейном движении скорость и ускорение удобно записывать со знаками, а не только брать их модули.
2. Главные формулы
Из определения ускорения следует, что за время \(t\) скорость изменяется на \(at\). Поэтому текущая скорость равна начальной скорости плюс это изменение.
Перемещение при равноускоренном движении можно найти через среднюю скорость. Так как скорость меняется линейно, средняя скорость за интервал времени равна полусумме начальной и конечной скоростей.
Координата тела равна начальной координате плюс перемещение:
Если время неизвестно, удобно исключить его из первых двух формул:
Ещё одна полезная жазба перемещения через конечную скорость:
Если известны \(v_0\), \(a\) и \(t\), используйте \(v=v_0+at\) и \(s=v_0t+\frac{at^2}{2}\). Если время не дано, часто подходит \(v^2-v_0^2=2as\). Если известны обе скорости и время, удобно применять \(s=\frac{v_0+v}{2}t\).
На графике \(v(t)\) равноускоренное движение изображается прямой. Её наклон показывает ускорение: чем круче прямая, тем больше модуль \(a\). Площадь под графиком скорости за время движения равна перемещению. Если часть графика расположена ниже оси времени, соответствующее перемещение имеет отрицательный знак.
3. Графики и средняя скорость
График ускорения \(a(t)\) при равноускоренном движении — горизонтальная прямая, потому что ускорение постоянно. График скорости \(v(t)\) — наклонная прямая. График координаты \(x(t)\) — парабола, поскольку координата содержит слагаемое, пропорциональное \(t^2\).
| График | Вид | Физический смысл |
|---|---|---|
| \(a(t)\) | горизонтальная прямая | ускорение постоянно |
| \(v(t)\) | наклонная прямая | наклон равен \(a\) |
| \(x(t)\) | парабола | наклон касательной равен скорости |
| Площадь под \(v(t)\) | геометрическая площадь | перемещение \(s\) |
Средняя скорость определяется как отношение перемещения ко времени: \(v_{\text{ср}}=\frac{s}{t}\). Для равноускоренного движения на всём выбранном интервале она равна \(\frac{v_0+v}{2}\). Нельзя без проверки использовать эту полусумму при произвольном неравномерном движении.
Тело движется с \(v_0=4\ \text{м/с}\) и \(a=-2\ \text{м/с}^2\). Какова скорость через \(1\ \text{с}\)?
На графике \(v(t)\) площадь считают с учётом знака. Прямоугольник даёт \(vt\), треугольник — \(\frac12 vt\), трапеция — \(\frac{v_0+v}{2}t\). Это позволяет находить перемещение даже без прямого применения формулы (2).
4. Разбор типовой тапсырма
Автомобиль начинает движение со скорости \(v_0=5\ \text{м/с}\) и движется с ускорением \(a=2\ \text{м/с}^2\). Найдите скорость и перемещение автомобиля за \(6\ \text{с}\).
Сначала выпишем известные величины и выберем положительное направление по движению автомобиля. Тогда \(v_0=5\ \text{м/с}\), \(a=2\ \text{м/с}^2\), \(t=6\ \text{с}\). Требуется найти \(v\) и \(s\).
Показать Шешім Шешім
Через \(6\ \text{с}\) скорость автомобиля равна \(17\ \text{м/с}\), а перемещение — \(66\ \text{м}\).
Если в условии требуется путь, а не перемещение, нужно проверить, менялось ли направление движения. При \(v_0=5\ \text{м/с}\) и \(a=2\ \text{м/с}^2\) направление не меняется, поэтому путь равен модулю перемещения: \(l=66\ \text{м}\). При остановке и развороте путь складывают по участкам.
1. Подставляют путь вместо перемещения и теряют знак. 2. Забывают квадрат времени в слагаемом \(\frac{at^2}{2}\). 3. Используют \(v=at\), хотя начальная скорость не равна нулю. 4. Считают отрицательное ускорение обязательным признаком замедления. 5. Не переводят километры в часы и минуты в секунды. 6. Округляют промежуточные значения слишком рано.
5. Алгоритм шешімдер и особые случаи
- Выберите ось и положительное направление.
- Запишите известные величины в единицах СИ: \(x_0\), \(v_0\), \(a\), \(t\), \(v\), \(s\).
- Определите, что требуется найти: скорость, координату, перемещение или время.
- Выберите формулу, в которой есть искомая величина и известные данные.
- Подставьте числа вместе с единицами, выполните вычисления.
- Проверьте знак, единицы и физический смысл ответа.
При остановке скорость равна нулю. Момент остановки находят из уравнения \(0=v_0+at\), то есть \(t_{\text{ост}}=-\frac{v_0}{a}\), если полученное время положительно. Вопросы об остановке и развороте подробно рассматриваются на странице условия остановки и разворота.
Для правильной работы со знаками полезно повторить скалярные и векторные величины. Равноускоренное движение является частным случаем равнопеременного движения, а графики ускорения и скорости дополнительно разобраны на странице график ускорения и скорости.
Проверь себя
Главное
- Равноускоренное движение имеет постоянное ускорение: \(a=\mathrm{const}\).
- Основные формулы: \(v=v_0+at\), \(s=v_0t+\frac{at^2}{2}\), \(v^2-v_0^2=2as\).
- График \(a(t)\) — горизонтальная прямая, \(v(t)\) — прямая, \(x(t)\) — парабола.
- Площадь под графиком \(v(t)\) равна перемещению.
- Всегда учитывайте направление, знаки величин, единицы СИ и различие между путём и перемещением.