Задания № 4, 5 · ОГЭ

Математический маятник: теория и задачи

Устройство маятника, условие малых колебаний, период и типовые расчёты

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Математический маятник — идеализированная система, с помощью которой изучают свободные колебания и измеряют ускорение свободного падения. В этой статье разберём устройство маятника, условие применимости основной формулы, связь периода с длиной нити и типовые экзаменационные расчёты.

Что называют математическим маятником

Математический маятник состоит из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити. Точка может двигаться в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Реальный небольшой груз на лёгкой длинной нити приближённо рассматривают как математический маятник, если размеры груза намного меньше длины нити, а сопротивлением воздуха и трением в подвесе можно пренебречь.

Определение

Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в поле тяжести.

Схема математического маятника: \(l\) — длина нити, \(\alpha\) — угол отклонения.

В положении равновесия нить вертикальна, а груз находится в нижней точке траектории. При отклонении груза возникает возвращающая составляющая силы тяжести, направленная к положению равновесия. Именно она вызывает колебательное движение.

\(l\)

длина маятника

\(T\)

период колебаний

\(g\)

ускорение свободного падения

м/с²

\(ν\)

частота колебаний

Гц

\(α\)

угол отклонения

рад

Малые колебания и период

Основная формула математического маятника справедлива только для малых углов отклонения. Обычно в школьных задачах условие малости записывают как \(\alpha \lesssim 10^\circ\)–\(15^\circ\), или используют приближение \(\sin\alpha \approx \alpha\), если угол выражен в радианах. При больших амплитудах период немного увеличивается и простая формула становится приближённой.

Период математического маятника

При малых колебаниях период не зависит от массы груза и амплитуды. Он определяется длиной маятника и ускорением свободного падения.

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]1

Из формулы видно: чем длиннее маятник, тем больше его период; чем больше \(g\), тем меньше период. Если длину увеличить в \(4\) раза, период увеличится в \(2\) раза. Если ускорение свободного падения уменьшить в \(4\) раза, период увеличится в \(2\) раза.

\[\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}\]

Частота \(\nu\) показывает число полных колебаний за единицу времени. За одно полное колебание груз возвращается в исходное положение и движется в ту же сторону, что и в начале движения.

Запомните

Для математического маятника при малых колебаниях: \(T\sim\sqrt{l}\), \(T\sim\frac{1}{\sqrt{g}}\). Масса груза в формулу периода не входит.

Микро-проверка

Как изменится период маятника, если его длину увеличить в 9 раз?

Откуда берётся формула периода

Рассмотрим груз массой \(m\), отклонённый на угол \(\alpha\). Тангенциальная составляющая силы тяжести возвращает груз к равновесию и по модулю равна \(mg\sin\alpha\). Для малого угла \(\sin\alpha\approx\alpha\), поэтому движение становится гармоническим.

Возвращающая сила направлена вдоль касательной к траектории.

\(\displaystyle F_{\tau}=-mg\sin\alpha\)

При малом угле используем приближение \(\sin\alpha\approx\alpha\), а длина дуги связана с углом формулой \(s=l\alpha\).

\(\displaystyle F_{\tau}\approx-mg\alpha=-mg\frac{s}{l}\)

По второму закону Ньютона \(m\ddot{s}=F_{\tau}\).

\(\displaystyle m\ddot{s}=-mg\frac{s}{l}\quad\Rightarrow\quad \ddot{s}+\frac{g}{l}s=0\)

Сравниваем с уравнением гармонических колебаний \(\ddot{s}+\omega^2s=0\).

\(\displaystyle \omega^2=\frac{g}{l},\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)

Период связан с циклической частотой соотношением \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Знак «минус» в выражении для возвращающей силы означает, что сила направлена противоположно смещению. Масса сокращается, поэтому одинаковые по длине маятники колеблются с одинаковым периодом независимо от массы грузов.

Типовой расчёт периода и длины

Перед вычислениями переведите все величины в СИ: длину — в метры, время — в секунды. В школьных задачах обычно принимают \(g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\) или \(g\approx10\ \text{м/с}^2\). Выбор значения должен соответствовать условию.

№

Разобранный пример

Маятник длиной \(l=1\ \text{м}\) совершает малые колебания. Найдите период и частоту при \(g=10\ \text{м/с}^2\).

Записываем формулу периода математического маятника.

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Подставляем известные величины в единицах СИ.

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{1}{10}}\approx2\cdot3{,}14\cdot0{,}316\approx1{,}99\ \text{с}\)

Частота обратна периоду.

\(\displaystyle \nu=\frac{1}{T}\approx\frac{1}{1{,}99}\approx0{,}50\ \text{Гц}\)

Ответ: \(T\approx2{,}0\ \text{с}\), \(\nu\approx0{,}50\ \text{Гц}\). Такой маятник совершает примерно одно полное колебание за две секунды.

Если известен период, длину находят преобразованием формулы:

\[l=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\]

Если требуется сравнить два маятника, удобно использовать отношение без вычисления \(\pi\) и \(g\):

\[\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{l_1}{l_2}}\]

Эксперимент и ограничения модели

Для измерения \(g\) можно измерить длину маятника и время \(t\) нескольких полных колебаний. Если маятник совершил \(N\) колебаний, то \(T=\frac{t}{N}\), а затем используют формулу

\[g=\frac{4\pi^2l}{T^2}=\frac{4\pi^2lN^2}{t^2}\]

Измерение времени сразу для многих колебаний уменьшает относительную ошибку реакции наблюдателя. Длину \(l\) отсчитывают от точки подвеса до центра тяжести груза, а не до его верхнего или нижнего края.

Частые ошибки

1. Подставляют массу груза в формулу периода: при малых колебаниях она не влияет на \(T\). 2. Берут длину только нити, забывая расстояние до центра груза. 3. Путают период и частоту: \(\nu=1/T\). 4. Используют сантиметры вместо метров. 5. Применяют формулу \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) при больших углах без оговорки о приближении. 6. Считают, что амплитуда совсем никогда не влияет на период: это верно лишь в модели малых колебаний.

Приём для сравнений

Если длины отличаются в \(k\) раз, период отличается в \(\sqrt{k}\) раз. Например, при \(l_2=4l_1\) получаем \(T_2=2T_1\).

Связь с другими видами колебаний

Математический маятник — один из примеров гармонического осциллятора. Общие свойства колебаний, графики координаты, скорости и ускорения разобраны на странице «Колебания и волны: решение задач». Для сравнения с ним полезно изучить пружинный маятник: колебания и задачи: там период зависит от массы груза и жёсткости пружины. Изменение энергии маятника рассматривается на страницах «Энергия колебаний» и «Кинетическая энергия при колебаниях».

Связь периода с длиной, минимальным периодом и измерением \(g\) подробно рассматривается на страницах «Период математического маятника», «Длина математического маятника», «Минимальный период» и «Ускорение свободного падения в опыте с маятником». Само устройство системы описано также на странице «Математический маятник».

Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · основное свойство

Как зависит период от массы груза при малых колебаниях?

Главное за минуту

Главное

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити.
При малых углах отклонения период равен \(T=2\pi\sqrt{l/g}\).
Период зависит от длины и ускорения свободного падения, но не зависит от массы груза.
Частота связана с периодом формулой \(\nu=1/T\).
Для эксперимента измеряют время нескольких колебаний, находят \(T=t/N\), а затем вычисляют \(g=4\pi^2l/T^2\).