ЕГЭОГЭ
Задания № 3, 4 · ОГЭ

Пружинный маятник: колебания и задачи

Период, закон движения, энергия и алгоритмы решения задач о грузе на пружине
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Пружинный маятник — это груз, соединённый с пружиной и совершающий около положения равновесия периодические колебания. В типовых задачах нужно находить период, частоту, жёсткость или массу, а также связывать скорость, смещение и энергию.

Модель пружинного маятника

Рассмотрим груз массой \(m\), прикреплённый к пружине жёсткостью \(k\). Для горизонтальной системы сила упругости направлена к положению равновесия. Если груз смещён на расстояние \(x\), модуль этой силы равен \(F_{\text{упр}}=kx\). Это содержание закона Гука.

D
Пружинный маятник

Пружинный маятник — механическая система, в которой тело под действием упругой силы совершает колебания около устойчивого положения равновесия.

Колебания считают гармоническими, если сила возвращения прямо пропорциональна смещению и направлена противоположно ему: \(F_x=-kx\). Знак «минус» показывает, что сила стремится вернуть груз к равновесию. Предполагается, что пружина невесома, деформации малы, сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь.

\(m\)
масса груза
кг
\(k\)
жёсткость пружины
Н/м
\(x\)
смещение
м
\(T\)
период
с
\(\nu\)
частота
Гц
\(E\)
полная механическая энергия
Дж
mFупрпружинаx
Горизонтальный пружинный маятник: при смещении \(x\) сила упругости направлена к положению равновесия.

Период и частота

Главная формула темы связывает период с массой груза и жёсткостью пружины. Чем тяжелее груз, тем медленнее он колеблется; чем жёстче пружина, тем быстрее происходят колебания.

\[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
\[\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
T
Период пружинного маятника

При малых колебаниях период груза на пружине равен \(T=2\pi\sqrt{m/k}\). Он не зависит от амплитуды и в горизонтальной системе не зависит от ускорения свободного падения.

Если пружина расположена вертикально, сила тяжести лишь меняет положение равновесия: пружина растягивается на величину \(\Delta l_0=mg/k\). После выбора координаты относительно нового положения равновесия уравнение колебаний и период остаются прежними.

\[x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\qquad \omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Здесь \(A\) — амплитуда, \(\varphi\) — начальная фаза, а \(\omega\) — циклическая частота. Подробнее о самом периоде удобно повторить материал страницы период пружинного маятника, а свойства малых колебаний — на странице малые колебания.

Микро-проверка

Как изменится период, если массу груза увеличить в 4 раза, а жёсткость пружины не менять?

Энергия колебаний

В идеальной системе полная механическая энергия сохраняется и переходит из потенциальной энергии пружины в кинетическую энергию груза и обратно. Потенциальная энергия максимальна в крайних положениях, а кинетическая — при прохождении положения равновесия.

\[E=E_k+E_p=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=\text{const}\]
\[E=\frac{kA^2}{2}=\frac{m\omega^2A^2}{2}\]
T
Энергетические положения

В крайнем положении \(x=\pm A\): \(v=0\), \(E_p=E\), \(E_k=0\). В положении равновесия \(x=0\): \(E_p=0\), \(E_k=E\), скорость максимальна: \(v_{\max}=\omega A=A\sqrt{k/m}\).

Если известны смещение и амплитуда, скорость можно найти без времени: приравняйте полную энергию и сумму энергий в рассматриваемой точке.

\[v=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}\]
24681012−1−0.8−0.6−0.4−0.20.20.40.60.81t, сx/A0x/A = cos(t)
Пример гармонического изменения смещения во времени: в крайних положениях скорость равна нулю, а при прохождении равновесия максимальна.

Алгоритм решения типовых задач

  1. Запишите известные величины в единицах СИ: массу — в килограммах, жёсткость — в Н/м, длину — в метрах.
  2. Определите, что требуется найти: период, частоту, массу, жёсткость, скорость или энергию.
  3. Выберите основную формулу: \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) для периода или \(E=mv^2/2+kx^2/2\) для энергии.
  4. При необходимости возведите равенство в квадрат и выразите неизвестную величину.
  5. Проверьте единицы и разумность результата: увеличение массы должно увеличивать период, а увеличение жёсткости — уменьшать его.
№
Пример: период и максимальная скорость

Груз массой \(m=0{,}20\) кг прикреплён к пружине жёсткостью \(k=80\) Н/м. Амплитуда колебаний \(A=5\) см. Найдём период и максимальную скорость.

1
Переведём амплитуду в СИ: \(5\) см \(=0{,}05\) м.
\(\displaystyle A=0{,}05\ \text{м}\)
2
Используем формулу периода пружинного маятника.
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}20}{80}}=2\pi\sqrt{0{,}0025}=0{,}1\pi\approx0{,}314\ \text{с}\)
3
Максимальная скорость достигается в положении равновесия и равна \(\omega A\); сначала найдём циклическую частоту.
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80}{0{,}20}}=\sqrt{400}=20\ \text{рад/с}\)
4
Подставим амплитуду.
\(\displaystyle v_{\max}=\omega A=20\cdot0{,}05=1\ \text{м/с}\)

Ответ: \(T\approx0{,}314\) с, \(v_{\max}=1\) м/с. Если требуется найти скорость не в равновесии, используйте формулу \(v=\sqrt{(k/m)(A^2-x^2)}\). Связь ускорения со смещением рассмотрена на странице ускорение при колебаниях, а формулы скорости — на странице скорость при колебаниях.

Задачи с вертикальной пружиной и составными системами

В вертикальной системе сначала находят статическое растяжение из условия равновесия \(k\Delta l_0=mg\). Но для периода это растяжение не нужно: отсчитывайте координату от положения равновесия и применяйте \(T=2\pi\sqrt{m/k}\). Не подставляйте в эту формулу полное растяжение пружины.

Для двух одинаковых пружин нужно установить эквивалентную жёсткость. При последовательном соединении пружины растягиваются по очереди, поэтому общая жёсткость уменьшается: для двух одинаковых пружин \(k_{\text{экв}}=k/2\). При параллельном соединении силы складываются, и \(k_{\text{экв}}=2k\). Затем период находят по формуле с \(k_{\text{экв}}\).

!
Частые ошибки

Не путайте массу с весом: в формулу входит \(m\) в килограммах. Не оставляйте сантиметры и граммы без перевода в СИ. Не используйте формулу математического маятника \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) для груза на пружине. В вертикальной системе не считайте период по растяжению \(\Delta l_0\) напрямую. Помните, что \(\omega=2\pi/T\), а не \(1/T\).

Как быстро проверить ответ

Из формулы \(T\sim\sqrt{m}\) следует: увеличение массы в \(n\) раз увеличивает период в \(\sqrt n\) раз. Из \(T\sim1/\sqrt{k}\) следует: увеличение жёсткости в \(n\) раз уменьшает период в \(\sqrt n\) раз.

Q
Быстрый тест по теме

Быстрая самопроверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · период
Какова жёсткость пружины, если \(m=0{,}25\) кг и \(T=\pi/2\) с?
Главное за минуту

Главное

  • Период пружинного маятника: \(T=2\pi\sqrt{m/k}\), частота: \(\nu=1/T\).
  • Сила упругости направлена к равновесию: \(F_x=-kx\).
  • Полная энергия сохраняется: \(E=mv^2/2+kx^2/2=kA^2/2\).
  • В крайних положениях скорость равна нулю, в равновесии она максимальна: \(v_{\max}=\omega A\).
  • Для вертикальной пружины период считают относительно нового положения равновесия; ускорение свободного падения в формулу периода не входит.
  • В задачах с несколькими пружинами сначала находят эквивалентную жёсткость.