Сила Лоренца и движение по окружности
Магнитная сила Лоренца действует на движущуюся заряженную частицу и при определённых условиях не изменяет её скорость по модулю, а только направление движения. Поэтому частица может двигаться по окружности: радиус этой окружности определяется массой, скоростью, зарядом и магнитной индукцией.
Сила Лоренца и её направление
На заряд \(q\), движущийся со скоростью \(\vec v\) в магнитном поле с индукцией \(\vec B\), действует сила Лоренца. Если скорость перпендикулярна линиям магнитного поля, модуль силы максимален. В общем случае учитывается только составляющая скорости, перпендикулярная полю.
Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся электрический заряд в магнитном поле. Её направление перпендикулярно одновременно скорости частицы и магнитной индукции.
Здесь \(\alpha\) — угол между векторами \(\vec v\) и \(\vec B\). Если \(\alpha=90^\circ\), то \(\sin\alpha=1\) и \(F_{\text{л}}=|q|vB\). Если частица покоится или движется вдоль линий поля, магнитная сила равна нулю.
Для положительного заряда направление силы находят по правилу левой руки: ладонь направляют так, чтобы линии магнитного поля входили в неё, четыре пальца — по скорости положительного заряда, отогнутый большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда направление противоположно.
Когда частица движется по окружности
Рассмотрим частицу, которая влетает в однородное магнитное поле так, что \(\vec v\perp\vec B\). Магнитная сила перпендикулярна скорости. Она не совершает работы, поэтому кинетическая энергия, скорость по модулю и модуль импульса остаются постоянными. Направление скорости непрерывно меняется, и траектория становится окружностью.
Если однородное магнитное поле перпендикулярно скорости частицы, магнитная сила играет роль центростремительной силы: \(F_{\text{л}}=F_{\text{ц}}\).
После сокращения на \(v\) получаем основную формулу радиуса движения заряженной частицы:
Радиус увеличивается с ростом массы и скорости, но уменьшается при увеличении модуля заряда или магнитной индукции. Знак заряда не влияет на радиус, а определяет направление закручивания.
Как изменится радиус траектории, если скорость частицы увеличить в 2 раза, а остальные величины оставить неизменными?
Вывод формул и полезные следствия
Связь силы Лоренца с радиусом получается непосредственно из второго закона Ньютона для движения по окружности. Важно использовать скорость, перпендикулярную магнитному полю. Если скорость имеет и параллельную составляющую, частица движется по винтовой траектории, а окружность описывает только поперечная составляющая.
Из формулы видно, что магнитное поле сообщает частице ускорение, перпендикулярное скорости. Работа магнитной силы равна нулю, что подробно рассматривается на странице работы магнитной силы. При одинаковых \(m\), \(|q|\) и \(B\) частицы с большей скоростью движутся по окружностям большего радиуса.
1. Использовать \(q\), а не \(|q|\) в формуле радиуса. Радиус не бывает отрицательным: нужно брать модуль заряда. 2. Считать, что магнитная сила направлена по скорости. Она перпендикулярна скорости. 3. Применять \(F=|q|vB\) при произвольном угле: правильная формула содержит \(\sin\alpha\). 4. Забывать перевести миллиметры в метры, микрокулоны в кулоны и миллитеслы в теслы. 5. Путать направление движения положительного и отрицательного зарядов.
Разобранный пример
Протон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции со скоростью \(3{,}0\cdot10^6\) м/с. Магнитная индукция \(B=0{,}20\) Тл. Найдите радиус траектории. Масса протона \(m=1{,}67\cdot10^{-27}\) кг, заряд \(q=1{,}60\cdot10^{-19}\) Кл.
Показать решение Решение
Так как скорость перпендикулярна полю, используем формулу \(R=\frac{mv}{|q|B}\).
Ответ: \(R\approx0{,}16\) м, или примерно 16 см. Чем сильнее поле, тем меньше был бы этот радиус.
Если скорость направлена под углом к полю
При произвольном угле скорость раскладывают на две составляющие: \(v_{\perp}=v\sin\alpha\) и \(v_{\parallel}=v\cos\alpha\). Перпендикулярная составляющая вызывает вращение по окружности, а параллельная сохраняется и переносит частицу вдоль линий поля. В результате получается винтовая линия. Радиус такой траектории равен
При \(\alpha=90^\circ\) винтовая линия превращается в окружность. При \(\alpha=0^\circ\) радиус вращения равен нулю, а частица движется прямолинейно вдоль поля.
Главное
- Сила Лоренца действует на движущийся заряд и равна \(F_{\text{л}}=|q|vB\sin\alpha\).
- При \(\vec v\perp\vec B\) частица движется по окружности, потому что сила Лоренца является центростремительной.
- Радиус окружности: \(R=\frac{mv}{|q|B}\). Знак заряда задаёт направление вращения, но не радиус.
- Магнитная сила не совершает работы: скорость по модулю и кинетическая энергия не изменяются.
- При наклонном влёте движение складывается из вращения поперёк поля и равномерного движения вдоль поля.