Движение заряженной частицы в магнитном поле
Заряженная частица, влетающая в магнитное поле, испытывает действие силы Лоренца. Магнитная сила не разгоняет частицу вдоль движения, а изменяет направление её скорости: при перпендикулярном влёте траектория становится окружностью, а при наличии продольной составляющей скорости — винтовой линией, или спиралью.
Сила Лоренца и её действие
На заряд \(q\), движущийся со скоростью \(\vec v\) в магнитном поле с индукцией \(\vec B\), действует магнитная составляющая силы Лоренца. Её модуль зависит от заряда, скорости, индукции и угла \(\alpha\) между векторами \(\vec v\) и \(\vec B\).
Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся электрический заряд в электромагнитном поле. В данной теме рассматривается магнитная часть: \(F_{\text{л}}=|q|vB\sin\alpha\).
Магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы. Поэтому работа магнитной силы равна нулю: она не изменяет кинетическую энергию, модуль скорости и кинетическую энергию частицы, если нет электрического поля.
- Если \(\alpha=0^\circ\) или \(180^\circ\), частица движется вдоль силовых линий: \(F_{\text{л}}=0\).
- Если \(\alpha=90^\circ\), сила максимальна: \(F_{\text{л}}=|q|vB\).
- Направление силы определяют по правилу левой руки с учётом знака заряда.
Движение по окружности
Пусть частица влетает в однородное магнитное поле так, что \(\vec v\perp\vec B\). Тогда сила Лоренца постоянна по модулю и всё время направлена к центру окружности. Она играет роль центростремительной силы. Скорость по модулю постоянна, поэтому движение является равномерным.
Из формулы видно: радиус движения заряженной частицы увеличивается с массой и скоростью, но уменьшается с ростом модуля заряда и магнитной индукции. Знак заряда не влияет на радиус, однако меняет направление закручивания траектории.
Угловая скорость \(\omega\) не зависит от скорости частицы. Поэтому при одинаковых \(|q|\), \(m\) и \(B\) быстрые и медленные частицы имеют разные радиусы, но одинаковую угловую скорость.
Период обращения заряженной частицы также не зависит от её скорости и радиуса. Частота обращения равна \(\nu=1/T=|q|B/(2\pi m)\).
Спиральная траектория
Если скорость образует с магнитным полем произвольный угол, её удобно разложить на две составляющие: \(v_{\parallel}\) вдоль поля и \(v_{\perp}\) перпендикулярно полю. Магнитная сила действует только на \(v_{\perp}\).
Перпендикулярная составляющая создаёт круговое движение радиуса \(R=mv_{\perp}/(|q|B)\), а параллельная не изменяется и переносит частицу вдоль силовой линии. В результате получается траектория заряженной частицы в форме винтовой линии.
Величина \(h\) — шаг спирали, то есть расстояние вдоль направления магнитного поля, которое частица проходит за один оборот. При \(\alpha=90^\circ\) шаг равен нулю и получается окружность; при \(\alpha=0^\circ\) радиус равен нулю и частица движется прямолинейно.
Как изменится радиус траектории электрона, если его скорость увеличить в 2 раза, а магнитное поле оставить прежним?
Разобранный пример
Электрон движется перпендикулярно однородному магнитному полю \(B=2{,}0\ \text{мТл}\) со скоростью \(v=3{,}0\cdot10^6\ \text{м/с}\). Найдём радиус траектории и период обращения. Используем \(m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{кг}\) и \(|e|=1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Кл}\).
Ответ: \(R\approx8{,}5\ \text{мм}\), \(T\approx1{,}8\cdot10^{-8}\ \text{с}\). Направление закручивания определяют по правилу левой руки; для электрона оно противоположно направлению, которое получилось бы для положительного заряда.
Алгоритм решения задач
- Определите угол между скоростью и магнитным полем.
- Разложите скорость на составляющие, если влёт не перпендикулярен полю.
- Для окружности используйте \(R=mv_{\perp}/(|q|B)\) и \(T=2\pi m/(|q|B)\).
- Проверьте единицы: массу берите в килограммах, заряд — в кулонах, поле — в теслах.
- Если требуется направление, учитывайте знак заряда и применяйте правило левой руки.
Не подставляйте полную скорость \(v\) в формулу радиуса при наклонном влёте: нужна только \(v_{\perp}\). Не считайте магнитную силу направленной вдоль скорости — она перпендикулярна ей. Не путайте радиус с диаметром. Наконец, знак заряда не ставят в модуль \(|q|\) при вычислении радиуса и периода, но обязательно учитывают при определении направления движения.
Быстрая проверка
Главное
- Магнитная сила перпендикулярна скорости, поэтому не изменяет модуль скорости и энергию частицы.
- При \(v\perp B\) частица движется по окружности: \(R=mv/(|q|B)\).
- Период обращения равен \(T=2\pi m/(|q|B)\) и не зависит от скорости.
- При наклонном влёте движение состоит из кругового движения поперёк поля и равномерного движения вдоль поля, поэтому траектория — спираль.
- Сила равна нулю при движении вдоль поля; направление закручивания зависит от знака заряда.