Качение без проскальзывания
Качение без проскальзывания — это движение колеса или другого круглого тела, при котором точка контакта с опорой в каждый момент времени покоится относительно опоры. Главное условие темы связывает скорость центра тела \(v\) с его угловой скоростью \(\omega\): \(v=\omega R\).
Что означает качение без проскальзывания
Рассмотрим колесо радиуса \(R\), катящееся по горизонтальной поверхности. Его движение складывается из двух движений: поступательного движения центра со скоростью \(v\) и вращения вокруг центра с угловой скоростью \(\omega\). При обычном качении эти движения согласованы.
Качение без проскальзывания — движение, при котором мгновенная скорость точки контакта тела с опорой равна нулю относительно опоры. Точка колеса не скользит по поверхности, а последовательно касается её.
Это не означает, что всё колесо покоится. Центр колеса движется, верхняя точка колеса движется ещё быстрее, а нижняя точка в данный момент имеет нулевую скорость относительно дороги. Через следующий момент времени это будет уже другая точка обода.
Условие связи скоростей
За время \(\Delta t\) центр колеса проходит путь \(\Delta s\). За это же время колесо поворачивается на угол \(\Delta\varphi\). При отсутствии проскальзывания длина дуги, которая соприкасается с опорой, равна пройденному пути центра.
Разделим равенство на промежуток времени и перейдём к мгновенным величинам. Получим основное условие качения без проскальзывания.
Для тела, катящегося без проскальзывания, линейная скорость центра равна произведению угловой скорости на радиус: \(v=\omega R\). В векторной форме для движения вправо и вращения по часовой стрелке направления согласованы.
Из основной формулы можно выразить любую величину:
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду. Радиан — безразмерная единица, поэтому размерность произведения \(\omega R\) равна \(\text{м/с}\), как и у линейной скорости.
За один полный оборот колесо проходит путь, равный длине окружности: \(s=2\pi R\). Если оно сделало \(N\) оборотов, то \(s=2\pi RN\), а угол поворота равен \(\varphi=2\pi N\).
Скорости разных точек колеса
Формула \(v=\omega R\) относится к скорости центра колеса. Чтобы найти скорость произвольной точки относительно земли, нужно сложить скорость поступательного движения центра и скорость этой точки при вращении вокруг центра.
- центр колеса движется со скоростью \(v=\omega R\);
- нижняя точка контакта имеет скорость \(0\) относительно опоры;
- верхняя точка имеет скорость \(2v\) относительно опоры;
- точка сбоку имеет скорость по модулю \(v\sqrt{2}\), если её радиус направлен горизонтально или вертикально.
Нулевая скорость нижней точки получается только при качении без проскальзывания. Если колесо скользит, скорость точки контакта не равна нулю.
Колесо радиуса \(0{,}2\) м катится без проскальзывания с угловой скоростью \(10\) рад/с. Какова скорость его центра?
Разобранный пример: число оборотов колеса
Колесо радиуса \(0{,}30\) м катится без проскальзывания. За \(20\) с его центр переместился на \(12\) м. Найдём скорость центра, угловую скорость и число оборотов.
\(R=0{,}30\) м, \(t=20\) с, \(s=12\) м. Найти \(v\), \(\omega\) и \(N\).
Ответ: скорость центра \(0{,}6\) м/с, угловая скорость \(2\) рад/с, колесо совершило примерно \(6{,}4\) оборота. Проверка: за один оборот оно проходит \(2\pi R\approx1{,}88\) м; \(12\) м действительно соответствуют примерно шести с половиной оборотам.
Когда условие применимо
Равенство \(v=\omega R\) справедливо для контакта с неподвижной опорой и именно при отсутствии проскальзывания. Если поверхность движется, условие записывают относительно скорости поверхности: скорость точки контакта относительно опоры должна быть нулевой.
При качении по наклонной плоскости формула не меняется: если \(v\) — скорость центра вдоль плоскости, то по-прежнему \(v=\omega R\). Меняются силы и ускорения, но не сама геометрическая связь.
Если колесо катится с постоянным ускорением, то кинематическая связь действует и для ускорений:
Здесь \(a\) — тангенциальное ускорение центра, а \(\varepsilon\) — угловое ускорение. Подробные графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени рассматриваются на странице графиков движения.
1. Путают радиус и диаметр: в формуле используется \(R\), а не \(d\). Если дан диаметр, сначала найдите \(R=d/2\). 2. Забывают условие «без проскальзывания» и применяют \(v=\omega R\) к скользящему колесу. 3. Считают скорость нижней точки равной \(v\): относительно земли она равна нулю, а \(v\) — это скорость центра. 4. Используют градусы вместо радиан при вычислении через \(\omega\). 5. Не проверяют единицы: \(\text{рад/с}\cdot\text{м}=\text{м/с}\).
Сначала выпишите, относительно какой системы отсчёта рассматривается движение. Затем определите, есть ли проскальзывание, переведите диаметр в радиус и выберите одну из формул \(v=\omega R\), \(\omega=v/R\) или \(R=v/\omega\). Если требуется число оборотов, используйте \(N=s/(2\pi R)\).
Связь с другими темами
Для понимания этой страницы полезно сначала повторить кинематическую связь и угловую скорость. В задачах на движение по окружности может понадобиться центростремительное ускорение, а в задачах на силы — законы Ньютона. Само условие качения подробно выделено на странице «Условие качения», а взаимодействие колеса с поверхностью разбирается в теме силы трения качения.
Быстрая проверка
Проверь понимание
Главное
- Качение без проскальзывания означает нулевую скорость точки контакта относительно опоры.
- Основная связь: \(v=\omega R\).
- За один оборот колесо проходит путь \(2\pi R\).
- Для верхней точки скорость равна \(2v\), для нижней — нулю относительно неподвижной опоры.
- Формула \(v=\omega R\) применяется только при отсутствии проскальзывания и при согласованном выборе системы отсчёта.