Уравнение состояния идеального газа
Уравнение Менделеева—Клапейрона связывает давление, объём, абсолютную температуру и количество вещества идеального газа. Оно позволяет найти неизвестный параметр газа и понять, как изменится состояние газа при сжатии, нагревании или охлаждении.
Модель и параметры газа
В задачах газ считают идеальным: собственным объёмом молекул и силами взаимодействия между ними пренебрегают. Такая модель идеального газа применима тем лучше, чем ниже плотность газа и чем дальше его состояние от сжижения.
Состояние данной массы газа задают три величины: давление \(p\), объём \(V\) и абсолютная температура \(T\). Количество вещества \(\nu\) показывает, сколько молей газа содержится в сосуде. Температуру нужно выражать в кельвинах, а не в градусах Цельсия: \(T=t+273{,}15\). Подробнее абсолютная температура рассматривается на странице об абсолютной температуре.
Уравнение Менделеева—Клапейрона — это связь между параметрами состояния идеального газа: давление \(p\), объём \(V\), абсолютной температурой \(T\) и количеством вещества \(\nu\).
Уравнение Менделеева—Клапейрона
Здесь \(R=8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\) — универсальная газовая постоянная. Если масса газа \(m\) и молярная масса \(M\) известны, количество вещества находят по формуле \(\nu=\frac{m}{M}\). Поэтому уравнение можно записать так:
Из основного уравнения удобно выражать любой параметр:
В замкнутом сосуде количество вещества постоянно, если газ не выходит и не поступает внутрь. Тогда при сравнении двух состояний можно использовать отношение \(\frac{pV}{T}=\text{const}\).
Формула (4) — объединённый газовый закон. Она особенно удобна, когда масса газа не меняется, а известны параметры начального и конечного состояний.
Как изменяются параметры газа
Из уравнения видно: при постоянных \(\nu\) и \(T\) произведение \(pV\) постоянно. Поэтому уменьшение объёма приводит к увеличению давления. Если объём уменьшили вдвое, то при неизменной температуре давление увеличится вдвое: \(p_2=2p_1\). Это частный случай изотермического процесса.
Если давление постоянно, объём прямо пропорционален абсолютной температуре: \(\frac{V}{T}=\text{const}\). При постоянном объёме давление прямо пропорционально температуре: \(\frac{p}{T}=\text{const}\). Эти случаи связаны соответственно с изобарическим процессом и изохорическим процессом.
| Условие | Постоянная величина | Связь |
|---|---|---|
| \(T=\text{const}\) | \(pV\) | \(p\sim\frac{1}{V}\) |
| \(p=\text{const}\) | \(\frac{V}{T}\) | \(V\sim T\) |
| \(V=\text{const}\) | \(\frac{p}{T}\) | \(p\sim T\) |
Газ сжали в 2 раза, температура и количество газа не изменились. Как изменилось давление?
Разобранный пример
В сосуде находится \(m=16\ \text{г}\) кислорода \(\mathrm{O_2}\) при температуре \(T=300\ \text{К}\) и давлении \(p=100\ \text{кПа}\). Найдём объём газа. Молярная масса кислорода \(M=32\ \text{г/моль}\).
Объём кислорода равен примерно \(0{,}0125\ \text{м}^3\), или \(12{,}5\ \text{л}\).
Вывод и полезные преобразования
Уравнение можно получить из основного результата молекулярно-кинетической теории: давление газа связано со средней кинетической энергией движения молекул. Для идеального газа это приводит к зависимости \(pV=\nu RT\). Поэтому давление растёт при увеличении температуры или количества молекул и уменьшается при увеличении объёма.
Из формулы (5) видно, что при одинаковых \(p\) и \(T\) плотность газа зависит от молярной массы. Так получают формулу для плотности газа:
В задачах с несколькими состояниями сначала запишите формулу для каждого состояния, затем разделите одно равенство на другое. Так неизвестные \(R\) и \(\nu\) часто сокращаются.
1. Подставляют температуру в градусах Цельсия вместо кельвинов. 2. Оставляют давление в кПа или объём в литрах, хотя остальные величины выражены в СИ. 3. Путают массу \(m\) и количество вещества \(\nu\). 4. Применяют формулу \(\frac{pV}{T}=\text{const}\), когда количество газа изменяется. 5. Делают вывод «объём уменьшили — давление уменьшилось»: при постоянной температуре давление, наоборот, увеличивается.
Запишите известные величины и переведите их в СИ; определите, постоянна ли масса газа; выберите \(pV=\nu RT\) или формулу для двух состояний; выразите неизвестную величину; проверьте единицы и разумность ответа.
Проверка понимания
Quick-test
Главное
- Основное уравнение идеального газа: \(pV=\nu RT\).
- Количество вещества связано с массой формулой \(\nu=m/M\).
- Для постоянной массы газа: \(\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\).
- Температуру всегда переводят в кельвины, а единицы — в СИ.
- При постоянной температуре уменьшение объёма вдвое вызывает увеличение давления вдвое.