Задание № 4 · ОГЭ

Гармонические колебания: уравнение и графики

Уравнение движения, фаза, графики координаты, скорости и ускорения

5 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Гармонические колебания — это периодические колебания, при которых смещение тела изменяется по закону синуса или косинуса. В этой теме важно научиться читать уравнение колебаний, находить амплитуду, период, частоту и фазу, а также строить графики координаты, скорости и ускорения.

Основное уравнение гармонических колебаний

Сначала полезно повторить понятия из темы гармонические колебания. Координата или смещение тела в момент времени \(t\) задаётся уравнением:

\[x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\]

Здесь \(x\) — смещение от положения равновесия, \(A\) — амплитуда, \(\omega\) — циклическая частота, \(t\) — время, а \(\varphi_0\) — начальная фаза. Вместо косинуса можно использовать синус: \(x=A\sin(\omega t+\varphi_0)\). Это не другой вид движения, а другой выбор отсчёта фазы.

Гармонические колебания

Гармоническими называют колебания, при которых смещение изменяется по закону синуса или косинуса: \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\). Амплитуда \(A\) — максимальное по модулю смещение тела от положения равновесия.

Периодичность движения

Через один период состояние тела повторяется: координата, скорость и ускорение имеют те же значения. Период \(T\) и циклическая частота \(\omega\) связаны формулами \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) и \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).

\(x\)

смещение

\(A\)

амплитуда

\(t\)

время

\(T\)

период

\(\nu\)

частота

Гц

\(\omega\)

циклическая частота

рад/с

\(\varphi\)

фаза

рад

Параметры уравнения и фаза

Амплитуда определяется коэффициентом перед синусом или косинусом. Если \(x=0{,}03\cos(4t-\frac{\pi}{2})\) м, то \(A=0{,}03\) м, \(\omega=4\) рад/с, а начальная фаза \(\varphi_0=-\frac{\pi}{2}\). Полная фаза в момент \(t\) равна \(\varphi=\omega t+\varphi_0\).

\[\varphi(t)=\omega t+\varphi_0\]

Фаза измеряется в радианах и показывает, на каком этапе цикла находится колеблющееся тело. При увеличении времени фаза линейно возрастает. За один период она изменяется на \(2\pi\).

Частота показывает число полных колебаний за единицу времени: \(\nu=\frac{1}{T}\). Поэтому циклическая частота выражается и через обычную частоту: \(\omega=2\pi\nu\). Подробное значение этой величины рассматривается на странице циклическая частота, а связь с периодом — на странице частота колебаний.

\[\nu=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}\]

Проверь себя

Тело совершает колебания по закону \(x=0{,}2\cos(5t+\frac{\pi}{3})\). Чему равна амплитуда?

График координаты и начальные условия

График \(x(t)\) — синусоида, расположенная между уровнями \(x=A\) и \(x=-A\). Если используется косинус без начальной фазы, \(x=A\cos(\omega t)\), то при \(t=0\) тело находится в крайнем положении \(x=A\). Если используется синус \(x=A\sin(\omega t)\), то при \(t=0\) тело проходит положение равновесия: \(x=0\).

График координаты при \(x=A\cos(\omega t)\): период равен \(2\pi/\omega\).

Начальная фаза сдвигает график вдоль оси времени. Важно учитывать знак фазы: выражение \(\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})\) означает сдвиг вправо относительно \(\cos(\omega t)\), а выражение \(\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})\) — сдвиг влево.

Как быстро определить начальное состояние

Подставьте \(t=0\) в уравнение. Получите \(x(0)=A\cos\varphi_0\). Чтобы определить направление движения, исследуйте знак скорости \(v(0)\).

Скорость и ускорение

Скорость при колебаниях — производная координаты по времени. При дифференцировании косинуса появляется минус и множитель \(\omega\):

\[v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\]

Скорость максимальна по модулю в положении равновесия, где \(x=0\), и равна нулю в крайних положениях. Её максимальное значение:

\[v_{\max}=A\omega\]

Ускорение при колебаниях — производная скорости по времени:

\[a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2x(t)\]

Знак минус в формуле \(a=-\omega^2x\) означает, что ускорение всегда направлено к положению равновесия. В крайних положениях ускорение максимально по модулю, а в положении равновесия равно нулю.

\[a_{\max}=A\omega^2\]

Положение тела	Смещение \(x\)	Скорость \(v\)	Ускорение \(a\)
Крайнее положение	\(\pm A\)	\(0\)	Максимально по модулю, направлено к равновесию
Положение равновесия	\(0\)	Максимально по модулю	\(0\)

Разобранный пример: чтение уравнения

Тело колеблется по закону \(x=0{,}04\cos(2\pi t+\frac{\pi}{6})\) м. Найдём амплитуду, период, частоту, начальную координату и максимальные значения скорости и ускорения.

№

Дано уравнение колебаний

\(x=0{,}04\cos(2\pi t+\frac{\pi}{6})\) м. Сравниваем его с общим видом \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).

Сравниваем коэффициенты общего и данного уравнений.

\(\displaystyle A=0{,}04\ \text{м},\qquad \omega=2\pi\ \text{рад/с},\qquad \varphi_0=\frac{\pi}{6}\)

Находим период через циклическую частоту.

\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\ \text{с}\)

Находим обычную частоту как величину, обратную периоду.

\(\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=1\ \text{Гц}\)

Используем формулы максимальной скорости и ускорения.

\(\displaystyle v_{\max}=A\omega=0{,}04\cdot2\pi=0{,}08\pi\approx0{,}251\ \text{м/с}\)

Ускорение вычисляем по формуле \(a_{\max}=A\omega^2\).

\(\displaystyle a_{\max}=0{,}04(2\pi)^2=0{,}16\pi^2\approx1{,}58\ \text{м/с}^2\)

Находим координату при \(t=0\).

\(\displaystyle x(0)=0{,}04\cos\frac{\pi}{6}=0{,}04\cdot\frac{\sqrt3}{2}=0{,}02\sqrt3\approx0{,}0346\ \text{м}\)

Частые ошибки

Не путайте \(\omega\) и \(\nu\): циклическая частота измеряется в рад/с, обычная — в герцах. Не забывайте множитель \(\omega\) при нахождении скорости и множитель \(\omega^2\) при нахождении ускорения. Амплитуда всегда неотрицательна, даже если перед косинусом стоит знак минус: \(-A\cos(...)\) можно записать как амплитуду \(A\) с изменённой фазой.

Связь фаз координаты, скорости и ускорения

Координата, скорость и ускорение изменяются с одинаковым периодом, но достигают экстремумов в разные моменты. Скорость сдвинута по фазе относительно координаты на \(\frac{\pi}{2}\), а ускорение противоположно координате по фазе: \(a=-\omega^2x\).

Если координата максимальна, скорость равна нулю, а ускорение направлено к равновесию.
Если тело проходит равновесие в положительном направлении, скорость положительна и максимальна по модулю.
При переходе через равновесие ускорение равно нулю.
Период графиков \(x(t)\), \(v(t)\) и \(a(t)\) одинаков: \(T=\frac{2\pi}{\omega}\).

Графики удобно строить по характерным точкам: \(t=0\), \(T/4\), \(T/2\), \(3T/4\) и \(T\). Для каждой точки вычисляют фазу и определяют знак величины. При решении задач также помогает страница фаза колебаний, а связь амплитуды с положением тела разобрана в материале смещение при колебаниях.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · амплитуда

Какова амплитуда колебаний \(x=3\cos(4t)\) см?

Главное за минуту

Главное

Уравнение гармонических колебаний: \(x=A\cos(\omega t+\varphi_0)\).
\(A\) — амплитуда, \(\omega\) — циклическая частота, \(\varphi_0\) — начальная фаза.
Связи между параметрами: \(\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}\) и \(\nu=\frac{1}{T}\).
Скорость: \(v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0)\), \(v_{\max}=A\omega\).
Ускорение: \(a=-\omega^2x\), \(a_{\max}=A\omega^2\); оно направлено к положению равновесия.
В крайних положениях скорость нулевая, а в равновесии скорость максимальна по модулю.