Задания № 11, 14, 15 · ЕГЭ

Задачи на электрические цепи

Как системно решать задачи на соединения, источники, приборы и переходные процессы

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Задачи на электрические цепи удобно решать не угадыванием формул, а последовательным составлением модели: определить соединение элементов, выбрать направления токов, записать закон Ома и правила Кирхгофа, затем проверить единицы и физический смысл ответа. Перед этой страницей повторите электрические цепи и задачи на закон Ома.

Основные понятия и величины

Электрический ток — направленное движение заряженных частиц. В металлическом проводнике носителями заряда являются электроны, однако направление тока условно принимают от положительного полюса источника к отрицательному во внешней цепи. Сила тока показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за единицу времени.

Электрическая цепь

Электрическая цепь — совокупность источника тока, потребителей, соединительных проводов и приборов, образующая замкнутый путь для тока. На схемах ток существует в ветви, если между её концами есть разность потенциалов и цепь замкнута.

Закон Ома для участка цепи

Сила тока на участке прямо пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна сопротивлению: \(I=\frac{U}{R}\). Сопротивление однородного проводника зависит от материала, длины и площади сечения.

\(I\)

сила тока

\(U\)

напряжение

\(R\)

сопротивление

Ом

\(q\)

электрический заряд

Кл

\(\mathcal{E}\)

ЭДС источника

\[I=\frac{q}{t}\]1

\[R=\rho\frac{l}{S}\]2

При последовательном соединении ток одинаков во всех элементах, а напряжения складываются. При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково, а общий ток равен сумме токов по ветвям.

\[R_{\text{посл}}=R_1+R_2+\dots+R_n\]3

\[\frac{1}{R_{\text{пар}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots+\frac{1}{R_n}\]4

Схема замкнутой цепи с источником и последовательно соединёнными сопротивлениями.

Алгоритм решения задачи

Перерисуйте схему и подпишите известные величины в единицах СИ.
Определите узлы, ветви и контуры. Упростите последовательные и параллельные участки, если это возможно.
Выберите направления токов. Если выбранное направление окажется противоположным действительному, результат получится отрицательным — это не ошибка.
Для участка используйте закон Ома. Для всей замкнутой цепи учитывайте ЭДС и внутреннее сопротивление источника.
Если цепь нельзя упростить, применяйте правила Кирхгофа.
Проверьте ответ: мощность, единицы, пределы сопротивлений и соответствие законам сохранения.

Правила Кирхгофа

Первое правило: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, то есть сколько тока входит в узел, столько из него выходит. Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме ЭДС. Эти правила основаны на сохранении заряда и энергии.

\[\sum I_k=0\]5

\[\sum \mathcal{E}_k=\sum I_kR_k\]6

Для реального источника с ЭДС \(\mathcal{E}\) и внутренним сопротивлением \(r\) ток короткого замыкания и ток во внешней цепи находят из закона Ома для полной цепи.

\[I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}\]7

\[U_{\text{внеш}}=IR=\mathcal{E}-Ir\]8

Приём для сложной схемы

Если в схеме есть симметрия, одинаковые точки имеют одинаковый потенциал. Ток между такими точками не течёт, поэтому соединяющую ветвь иногда можно удалить. Сначала ищите симметрию, а уже затем составляйте много уравнений.

Проверьте себя

Два одинаковых резистора соединены параллельно. Как изменится эквивалентное сопротивление по сравнению с сопротивлением одного резистора \(R\)?

Измерительные приборы и мощность

Амперметр включают последовательно с участком, ток которого измеряют. Его сопротивление должно быть очень малым. Вольтметр подключают параллельно участку, напряжение на котором измеряют; его сопротивление должно быть очень большим. Идеальные приборы не изменяют режим цепи.

Частая ошибка

Нельзя подключать идеальный амперметр параллельно источнику: его сопротивление близко к нулю, поэтому получится короткое замыкание. Нельзя включать идеальный вольтметр последовательно: его очень большое сопротивление практически прервёт цепь.

\[P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}\]9

\[A=Pt=UIt\]10

В задачах на нагрев используйте закон Джоуля — Ленца: энергия, выделившаяся в сопротивлении, равна \(I^2Rt\). Если прибор подключают к источнику с внутренним сопротивлением, часть мощности выделяется внутри самого источника.

Разобранный пример: источник с внутренним сопротивлением

№

Условие

Источник имеет ЭДС \(\mathcal{E}=12\) В и внутреннее сопротивление \(r=1\) Ом. К нему подключены последовательно резисторы \(R_1=5\) Ом и \(R_2=2\) Ом. Найдите силу тока, напряжение на \(R_2\) и полезную мощность во внешней цепи.

Сначала находим сопротивление внешней цепи: резисторы соединены последовательно.

\(\displaystyle R=R_1+R_2=5+2=7\ \text{Ом}\)

Учитываем сопротивление источника и применяем закон Ома для полной цепи.

\(\displaystyle I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=\frac{12}{7+1}=1{,}5\ \text{А}\)

Напряжение на втором резисторе находим по закону Ома для участка.

\(\displaystyle U_2=IR_2=1{,}5\cdot2=3\ \text{В}\)

Полезная мощность — мощность, выделяемая во внешней цепи.

\(\displaystyle P_{\text{пол}}=I^2R=1{,}5^2\cdot7=15{,}75\ \text{Вт}\)

Проверка: падение напряжения во внешней цепи равно \(IR=10{,}5\) В, а внутри источника — \(Ir=1{,}5\) В. Их сумма равна \(12\) В, то есть ЭДС. Мощность источника \(\mathcal{E}I=18\) Вт распределяется на внешнюю цепь и внутреннее сопротивление: \(15{,}75+2{,}25=18\) Вт.

Переходные процессы в цепи с индуктивностью

Переходный процесс возникает при включении или выключении цепи, когда ток и напряжение не успевают мгновенно принять новые значения. В цепи с катушкой ток не может измениться скачком: при попытке резко изменить ток появляется ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению.

Индуктивность

Индуктивность \(L\) характеризует способность катушки создавать ЭДС самоиндукции при изменении тока. Чем больше \(L\), тем медленнее устанавливается ток в цепи с тем же сопротивлением.

\[\mathcal{E}_{\text{с}}=-L\frac{dI}{dt}\]11

\[I(t)=I_{\infty}\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau=\frac{L}{R}\]12

\[I(t)=I_0e^{-t/\tau}\]13

При включении RL-цепи ток возрастает от нуля к установившемуся значению \(I_{\infty}\). При отключении он убывает от начального значения \(I_0\). Время \(\tau=L/R\) называют постоянной времени; за одно \(\tau\) ток при включении достигает примерно \(63\%\) установившегося значения, а при спадании уменьшается примерно до \(37\%\) начального. Подробный разбор есть на странице переходные процессы в цепи с индуктивностью, а формула постоянной времени — на странице постоянная времени RL-цепи.

Рост тока в RL-цепи: после нескольких постоянных времени ток почти достигает установившегося значения.

Главное о катушке

Ток через идеальную индуктивность непрерывен: \(I(0^+)=I(0^-)\). В установившемся режиме постоянного тока идеальная катушка ведёт себя как проводник с нулевым сопротивлением, но в переходный момент её действие существенно.

Ещё одна частая ошибка

Не подставляйте сразу \(I=\mathcal{E}/R\) в момент включения RL-цепи. Это установившийся ток, а не начальный: при включении \(I(0)=0\) для незаряженной катушки.

Quick-test

Быстрый тест по теме

Проверьте подготовку

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · измерительные приборы

Как подключают амперметр?

Главное за минуту

Главное

Сначала определите тип соединения и приведите величины к единицам СИ.
При последовательном соединении одинаков ток, при параллельном одинаково напряжение.
Амперметр включают последовательно, вольтметр — параллельно.
Для полной цепи используйте \(I=\mathcal{E}/(R+r)\); сложные схемы решайте по правилам Кирхгофа.
В RL-цепи ток изменяется постепенно: \(\tau=L/R\), а мгновенный скачок тока невозможен.