ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 19, 20, 21 · ЕГЭ

Движение центра масс

Как внешние силы управляют движением системы тел
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Центр масс системы тел движется так, будто вся масса системы сосредоточена в этой точке, а на неё действует только равнодействующая внешних сил. Поэтому внутренние взаимодействия тел могут менять их движения по отдельности, но не определяют движение центра масс всей системы.

Система тел и силы

Системой тел называют выбранную совокупность тел, которую рассматривают как единое целое. Например, системой можно считать два сцепленных бруска, человека и лодку, ракету с топливом или все тела, находящиеся на наклонной плоскости. Границы системы выбирают в зависимости от задачи.

Силы, действующие в системе, делятся на внешние и внутренние силы. Внутренняя сила возникает при взаимодействии тел, входящих в систему: сила натяжения между грузами, сила упругости пружины между брусками, сила притяжения двух частей системы. Внешняя сила действует на систему со стороны тел, которые в неё не входят: сила тяжести Земли, реакция опоры, сила трения о поверхность или сила сопротивления воздуха.

D
Внешняя и внутренняя сила

Внешняя сила действует на тело системы со стороны внешнего тела. Внутренняя сила возникает при взаимодействии тел, принадлежащих одной и той же системе. При сложении сил системы внутренние силы попарно компенсируются по третьему закону Ньютона.

\(m\)
масса
кг
\(\vec r_{цм}\)
радиус-вектор центра масс
м
\(\vec v_{цм}\)
скорость центра масс
м/с
\(\vec a_{цм}\)
ускорение центра масс
м/с²
\(\vec F_{внеш}\)
равнодействующая внешних сил
Н

Важно правильно определить систему до записи уравнений. Если пружина включена в систему вместе с двумя брусками, её сила является внутренней. Если пружина закреплена вне выбранной системы и действует на один брусок, для этой системы её сила внешняя.

Центр масс системы

Для материальных точек центр масс — это точка, положение которой определяется массами и координатами всех частей системы. Для двух тел на одной прямой координата центра масс находится ближе к более массивному телу.

\[x_{цм}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\dots+m_nx_n}{m_1+m_2+\dots+m_n}\]

В векторной форме формула имеет тот же смысл и работает для движения на плоскости и в пространстве:

\[\vec r_{цм}=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i}\]

Если тела движутся, координаты становятся функциями времени. Дифференцируя выражение по времени, получаем скорость центра масс как среднюю, взвешенную по массам, скорость тел:

\[\vec v_{цм}=\frac{\sum_i m_i\vec v_i}{M},\qquad M=\sum_i m_i\]

Аналогично определяется ускорение центра масс при постоянной массе системы:

\[\vec a_{цм}=\frac{\sum_i m_i\vec a_i}{M}\]
m₁m₂центр масс
Центр масс двух тел расположен ближе к телу с большей массой.
Басты бет идея

Центр масс — не обязательно материальная точка и не обязательно находится внутри тела. Он может располагаться между телами, внутри одного тела или даже вне системы, например у кольца или у двух разлетающихся частей.

Теорема о движении центра масс

Для каждого тела системы записывают второй закон Ньютона. Затем складывают все уравнения. Сумма внутренних сил равна нулю: каждая сила действия компенсируется противоположной силой противодействия. Остаётся сумма только внешних сил.

1
Запишем второй закон Ньютона для каждого тела и сложим уравнения.
\(\displaystyle \sum_i m_i\vec a_i=\sum \vec F_{внеш}+\sum \vec F_{внутр}\)
2
Внутренние силы попарно уничтожаются, поэтому их сумма равна нулю.
\(\displaystyle \sum \vec F_{внутр}=0\)
3
По определению центра масс при постоянной массе системы \(\sum_i m_i\vec a_i=M\vec a_{цм}\).
\(\displaystyle M\vec a_{цм}=\sum \vec F_{внеш}\)
T
Теорема о движении центра масс

Центр масс системы движется с ускорением, определяемым равнодействующей всех внешних сил: масса всей системы, умноженная на ускорение центра масс, равна сумме внешних сил.

\[M\vec a_{цм}=\vec F_{внеш}\]1

Это теорема о движении центра масс. Она особенно полезна, когда движение отдельных тел сложно, но внешние силы легко найти. Например, при столкновении или взрыве внутренние силы очень велики, однако они не меняют ускорение центра масс системы.

Если равнодействующая внешних сил равна нулю, ускорение центра масс равно нулю. Тогда центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно. Это связано с законом сохранения импульса системы тел.

\[\vec F_{внеш}=0\quad\Rightarrow\quad \vec a_{цм}=0,\quad \vec v_{цм}=\text{const}\]
Проверь себя

Два человека отталкиваются друг от друга на гладком льду. Что происходит с центром масс системы «два человека»?

Как решать тапсырма о нескольких телах

В задачах сначала выбирают систему, затем изображают внешние силы и только после этого используют теорему. Не нужно включать в сумму сил все силы, встречающиеся на отдельных схемах: внутренние силы системы исключаются.

  1. Выберите систему тел и явно назовите её.
  2. Укажите положительное направление оси или запишите векторное уравнение.
  3. Найдите все внешние силы: тяжесть, реакцию опоры, трение, натяжение со стороны тела вне системы, сопротивление среды.
  4. Сложите проекции внешних сил на выбранную ось.
  5. Используйте \(Ma_{цм}=F_{внеш}\) и выразите неизвестную величину.
  6. Проверьте знак, единицы измерения и разумность ответа.
№
Пример: два бруска и внешняя сила

Два бруска массами \(m_1=2\) кг и \(m_2=3\) кг лежат на гладкой горизонтальной поверхности и соединены лёгкой нитью. К бруску \(m_1\) приложена горизонтальная сила \(F=15\) Н. Найдите ускорение системы и силу натяжения нити.

Системой удобно считать оба бруска. Сила натяжения становится внутренней, поэтому для ускорения она не нужна. Внешняя горизонтальная сила только одна: \(F\).

1
Полная масса системы равна сумме масс брусков.
\(\displaystyle M=m_1+m_2=2+3=5\ \text{кг}\)
2
Запишем теорему о движении центра масс по горизонтали.
Ma=F
3
Найдём общее ускорение брусков: нить нерастяжима, поэтому их ускорения одинаковы.
\(\displaystyle a=\frac{F}{M}=\frac{15}{5}=3\ \text{м/с}^2\)
4
Теперь рассмотрим только второй брусок. На него по горизонтали действует внутренняя для всей системы сила натяжения.
\(\displaystyle T=m_2a\)
5
Подставим значения и получим натяжение.
\(\displaystyle T=3\cdot3=9\ \text{Н}\)

Жауабы: ускорение обоих брусков равно \(3\) м/с², натяжение нити — \(9\) Н. Обратите внимание: для нахождения ускорения рассматривалась вся система, а для нахождения натяжения — отдельный брусок. Так обычно экономят вычисления.

Особые случаи и выбор системы

На горизонтальной поверхности сила тяжести и реакция опоры часто взаимно компенсируются по вертикали. Но это верно только при отсутствии вертикального ускорения. Если система движется по наклонной плоскости, внешние силы нужно разложить по направлениям вдоль и перпендикулярно плоскости.

Сила тяжести является внешней, если Земля не включена в систему. Если же в систему включить Землю, сила притяжения между Землёй и телом станет внутренней. Однако тогда нужно учитывать движение Земли, поэтому в школьных задачах обычно выбирают систему без Земли.

При наличии сопротивления среды равнодействующая внешних сил обычно зависит от скорости. Теорема остаётся верной, но ускорение центра масс меняется со временем. При реактивном движении масса системы может изменяться, поэтому ракету и выбрасываемое топливо рассматривают с осторожностью; этот случай изучается в теме реактивного движения.

!
Частые ошибки

1. Считать внутренние силы внешними при рассмотрении всей системы. 2. Забывать, что равнодействующая — это векторная сумма, а не сумма модулей. 3. Применять \(Ma_{цм}=F_{внеш}\) к части системы, используя массу всей системы. 4. Утверждать, что при нулевой внешней силе тела неподвижны: постоянной остаётся скорость центра масс, а тела внутри системы могут двигаться. 5. Не менять систему при переходе от нахождения ускорения к нахождению натяжения.

Приём для экзамена

Если в условии есть несколько тел и спрашивают их общее ускорение, сначала попробуйте рассмотреть всю систему. Внутренние силы исчезнут, и часто останется одно простое уравнение.

Проверка усвоения

Q
Жылдам тест по теме

Quick-test

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · теорема
Какова формула теоремы о движении центра масс?
Главное за минуту

Главное

  • Центр масс системы определяется массами и положениями всех её частей.
  • Движение центра масс задаётся только равнодействующей внешних сил: \(M\vec a_{цм}=\vec F_{внеш}\).
  • Внутренние силы при рассмотрении всей системы попарно компенсируются.
  • При нулевой внешней равнодействующей скорость центра масс постоянна.
  • Для общего ускорения выбирайте всю систему, а для внутренних сил, например натяжения, — отдельное тело или часть системы.