КПД термодинамического цикла
Тепловая машина превращает часть теплоты, полученной от нагревателя, в механическую работу. В этой теме разберём, как по графику термодинамического цикла определить работу газа, количество полученной теплоты и коэффициент полезного действия цикла.
Основные понятия и обозначения
Термодинамический цикл — последовательность процессов, после которой рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поэтому в конце цикла его давление, объём и температура снова становятся такими же, как в начале.
Тепловая машина — устройство, которое за счёт получения теплоты от нагревателя совершает полезную работу и передаёт часть теплоты холодильнику. Рабочим телом обычно является газ или пар.
За полный цикл изменение внутренней энергии рабочего тела равно нулю: \(\Delta U=0\). Поэтому полученная от нагревателя теплота расходуется на работу и отдачу теплоты холодильнику: \(Q_{\text{н}}=A+Q_{\text{х}}\).
В расчётах используют абсолютные количества теплоты: \(Q_{\text{н}}>0\) — теплота, полученная рабочим телом от нагревателя, а \(Q_{\text{х}}>0\) — модуль теплоты, отданной холодильнику. Если в условии теплота холодильника записана со знаком минус как количество теплоты системы, то в формуле КПД нужно использовать её модуль.
Работа цикла на графике p–V
На диаграмме \(p(V)\) работа газа в отдельном процессе равна площади под графиком: \(A=\int p\,dV\). Для замкнутого цикла работа равна площади фигуры, ограниченной линиями цикла. При обходе по часовой стрелке газ в целом расширяется при большем давлении, чем сжимается, поэтому \(A>0\) — работа совершена газом.
Для прямоугольного цикла с давлениями \(p_\text{в}\) и \(p_\text{н}\) и объёмами \(V_\text{б}\) и \(V_\text{м}\) работа равна площади прямоугольника:
Сначала найдите разность давлений и разность объёмов, затем перемножьте их. Следите за единицами: \(1\ \text{Па}\cdot\text{м}^3=1\ \text{Дж}\).
Каков знак работы цикла, если на графике \(p(V)\) цикл обходится против часовой стрелки?
Полученная теплота и коэффициент полезного действия
Чтобы найти КПД, нужно определить всю теплоту \(Q_{\text{н}}\), которую рабочее тело получило от нагревателя за цикл. Теплота, полученная на разных участках, складывается. Участки, на которых газ отдаёт энергию, в \(Q_{\text{н}}\) не включают.
Если КПД требуется в процентах, результат умножают на \(100\%\). Для реальной машины \(0<\eta<1\), или \(0\%<\eta<100\%\). КПД не может быть равен или больше \(100\%\), потому что часть теплоты неизбежно передаётся холодильнику.
Для каждого участка количество теплоты можно вычислять по первому закону термодинамики: \(Q=\Delta U+A\). Для одноатомного идеального газа \(\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T\). На изохорном процессе \(A=0\), на изотермическом процессе идеального газа \(\Delta U=0\), а на адиабатном процессе \(Q=0\).
В \(Q_{\text{н}}\) входят только положительные количества теплоты, то есть участки, где рабочее тело получает энергию от нагревателя. Если \(Q_i<0\), этот участок относится к отдаче теплоты, а его модуль учитывают в \(Q_{\text{х}}\).
Разобранный пример
Газ совершает цикл на диаграмме \(p(V)\). Давления равны \(p_\text{в}=300\ \text{кПа}\) и \(p_\text{н}=100\ \text{кПа}\), объёмы — \(V_\text{б}=5\ \text{л}\) и \(V_\text{м}=2\ \text{л}\). За цикл газ получает от нагревателя \(Q_{\text{н}}=2{,}4\ \text{кДж}\). Найдём работу и КПД.
Ответ: работа газа за цикл равна \(600\ \text{Дж}\), КПД цикла — \(25\%\). Теплота, отданная холодильнику, при необходимости находится из баланса: \(Q_{\text{х}}=Q_{\text{н}}-A=2{,}4-0{,}6=1{,}8\ \text{кДж}\).
Алгоритм решения задач
- Определите направление обхода цикла на графике \(p(V)\) и знак работы.
- Если цикл замкнут, найдите его площадь или сложите работы на отдельных участках.
- Выпишите все участки, на которых газ получает теплоту, и вычислите их суммарное \(Q_{\text{н}}\).
- Используйте \(\eta=A/Q_{\text{н}}\) или \(\eta=1-Q_{\text{х}}/Q_{\text{н}}\).
- Проверьте единицы, знак работы и то, что КПД меньше \(100\%\).
Не путайте площадь под отдельным участком с площадью всего цикла. Не складывайте в \(Q_{\text{н}}\) теплоту, отданную холодильнику. Литры нужно переводить в \(\text{м}^3\), килопаскали — в паскали, если работа рассчитывается в джоулях. Наконец, \(Q_{\text{х}}\) в формуле \(\eta=1-Q_{\text{х}}/Q_{\text{н}}\) — положительный модуль отданной теплоты.
Связь с другими задачами
Перед решением полезно повторить КПД тепловой машины, энергетический баланс тепловой машины и знак работы в термодинамике. Если требуется восстановить процесс по рисунку, поможет чтение графика теплового процесса. Задачи на эту тему входят в страницу задачи на КПД тепловых машин. Холодильная машина и тепловой насос используют другой полезный эффект, поэтому их сравнение вынесено отдельно: сравнение холодильной машины и теплового насоса.
Проверь себя
Главное
- Работа цикла на графике \(p(V)\) равна площади фигуры, ограниченной циклом; по часовой стрелке она положительна.
- За полный цикл \(\Delta U=0\), поэтому \(Q_{\text{н}}=A+Q_{\text{х}}\).
- КПД равен \(\eta=A/Q_{\text{н}}=1-Q_{\text{х}}/Q_{\text{н}}\).
- В \(Q_{\text{н}}\) включают только теплоту, полученную от нагревателя.
- Перед вычислениями переводите давление и объём в единицы СИ и проверяйте, что \(0<\eta<1\).