Задачи на КПД тепловых машин
КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в полезную механическую работу. В задачах экзамена важно правильно составить энергетический баланс, различать \(Q_1\), \(Q_2\) и \(A\) и не путать КПД с холодильным коэффициентом.
1. Устройство тепловой машины и обозначения
Тепловая машина работает циклически: рабочее тело получает количество теплоты \(Q_1\) от нагревателя, совершает работу \(A\), а оставшееся количество теплоты \(Q_2\) передаёт холодильнику. После завершения цикла рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому изменение его внутренней энергии за цикл равно нулю.
Тепловая машина — устройство, которое периодически получает теплоту от более горячего тела, превращает часть этой теплоты в работу и передаёт остальную часть более холодному телу. Нагреватель имеет более высокую температуру, чем холодильник.
За один цикл теплота, полученная от нагревателя, расходуется на работу машины и передачу теплоты холодильнику. Подробный разбор этого закона приведён на странице энергетический баланс тепловой машины.
В школьных задачах обычно считают \(Q_1>0\), \(Q_2>0\) и \(A>0\) как модули переданной энергии. Если в условии указано, что холодильник получает теплоту, это именно \(Q_2\), а не работа.
2. Основная формула КПД
Коэффициент полезного действия равен отношению полезной работы к энергии, затраченной для её получения. Для тепловой машины затраченная энергия — это теплота \(Q_1\), полученная от нагревателя.
Используя энергетический баланс \(A=Q_1-Q_2\), получаем другую форму записи:
КПД часто записывают в процентах: \(\eta_{\%}=100\%\cdot\eta\). Например, \(\eta=0{,}25\) означает КПД \(25\%\). Важно: в формулу подставляют количества теплоты в одинаковых единицах, например оба значения в джоулях или оба в килоджоулях.
Для любой реальной тепловой машины \(0<\eta<1\), или \(0\%<\eta<100\%\). Равенство \(\eta=100\%\) означало бы, что холодильнику не передаётся теплота, что невозможно для циклически работающей тепловой машины.
Машина получила от нагревателя \(500\) Дж и передала холодильнику \(350\) Дж. Чему равна её полезная работа?
3. Алгоритм решения задач
- Выпишите, что дано: \(Q_1\), \(Q_2\), \(A\) или другие параметры.
- Приведите все энергии к одной единице измерения.
- Если известны \(Q_1\) и \(Q_2\), найдите работу по формуле \(A=Q_1-Q_2\).
- Выберите формулу КПД: \(\eta=\frac{A}{Q_1}\) или \(\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}\).
- Проверьте ответ: КПД должен быть меньше единицы, а работа — не больше \(Q_1\).
Если в условии сразу даны \(A\) и \(Q_1\), используйте \(\eta=A/Q_1\). Если даны \(Q_1\) и \(Q_2\), быстрее применить \(\eta=1-Q_2/Q_1\) и не вычислять работу отдельно.
4. Разобранный пример: КПД по количествам теплоты
За цикл тепловая машина получает от нагревателя \(Q_1=2{,}0\) кДж и передаёт холодильнику \(Q_2=1{,}4\) кДж. Найдите работу машины за цикл и её КПД.
Ответ: \(A=0{,}6\) кДж, \(\eta=30\%\). Заметим, что перевод кДж в Дж здесь не обязателен: обе величины имеют одинаковые единицы. Если нужно выразить работу в СИ, \(0{,}6\) кДж \(=600\) Дж.
5. Задачи по температурам нагревателя и холодильника
Для идеальной обратимой машины Карно КПД определяется абсолютными температурами нагревателя \(T_1\) и холодильника \(T_2\). Температуры обязательно выражают в кельвинах: \(T=t+273\).
Эта формула даёт максимально возможный КПД при данных температурах. Реальная машина не может иметь КПД больше него. Задачи, где требуется использовать именно цикл Карно, разобраны на странице задачи на цикл Карно. Общая связь КПД с параметрами цикла рассматривается в КПД термодинамического цикла.
Нагреватель имеет температуру \(T_1=600\) К, холодильник — \(T_2=300\) К. Максимальный КПД машины Карно равен \(\eta=1-300/600=0{,}5=50\%\).
1. Перепутаны \(Q_1\) и \(Q_2\). В знаменателе КПД стоит теплота от нагревателя, \(Q_1\). 2. Температура дана в градусах Цельсия. В формулу Карно нельзя подставлять \(20\) и \(100\) вместо \(293\) и \(373\) К. 3. Работа сложена с \(Q_2\). Правильно \(A=Q_1-Q_2\). 4. Проценты не переведены в долю. Для вычислений \(30\%=0{,}30\). 5. Получен КПД больше 100\%. Это сигнал проверить баланс и единицы.
КПД тепловой машины подробнее определяется на странице коэффициент полезного действия тепловой машины, а расчёты через отдельные количества теплоты — на странице КПД через количество теплоты. Для задач, где требуется найти число циклов или мощность, понадобится мощность тепловой машины. Не следует заменять КПД машины холодильным коэффициентом: это разные величины.
Проверь себя
Главное
- Тепловая машина получает \(Q_1\) от нагревателя, совершает работу \(A\) и передаёт \(Q_2\) холодильнику.
- Энергетический баланс: \(Q_1=A+Q_2\), поэтому \(A=Q_1-Q_2\).
- КПД: \(\eta=A/Q_1=1-Q_2/Q_1\); для процентов умножают на \(100\%\).
- В формуле Карно \(\eta=1-T_2/T_1\) температуры берут в кельвинах.
- Проверяйте единицы, порядок величин и условие \(0<\eta<1\).