Задания № 5, 11 · ОГЭ

Промежутки знакопостоянства функции

Как определить, где функция принимает положительные и отрицательные значения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Промежутки знакопостоянства функции — это промежутки области определения, на каждом из которых функция сохраняет один знак: только положительна или только отрицательна. Иными словами, на таком промежутке график функции находится либо выше, либо ниже оси \(Ox\).

Промежуток знакопостоянства — промежуток, на котором для всех его точек выполняется одно из условий: \(f(x)>0\) или \(f(x)<0\). Промежутки, где \(f(x)>0\), называют промежутками знакопостоянства положительного знака, а где \(f(x)<0\) — отрицательного знака. Точки, в которых \(f(x)=0\), не относятся ни к положительным, ни к отрицательным промежуткам.

Как находить промежутки знакопостоянства

Сначала определяют область определения функции и находят её нули функции — значения \(x\), при которых \(f(x)=0\). Также учитывают точки, в которых функция не определена. Эти значения делят числовую ось на промежутки. Затем на каждом промежутке выбирают контрольную точку и определяют знак значения функции. Если функция непрерывна, знак не меняется внутри промежутка без нуля или точки разрыва.

\[f(x)>0 \quad\text{— функция положительна; }\quad f(x)<0 \quad\text{— функция отрицательна.}\]

По графику функции знак читают особенно быстро: участки графика выше оси \(Ox\) соответствуют \(f(x)>0\), а участки ниже оси \(Ox\) — \(f(x)<0\). Пересечения с осью \(Ox\) дают нули функции.

№

Пример

Рассмотрим \(f(x)=x^2-4\). Нули функции: \(x=-2\) и \(x=2\). Проверим знаки: при \(x=-3\) получаем \(f(-3)=5>0\), при \(x=0\) — \(f(0)=-4<0\), при \(x=3\) — \(f(3)=5>0\). Поэтому функция положительна на \((-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\) и отрицательна на \((-2;2)\).

Не путайте

Промежутки знакопостоянства — не то же самое, что промежутки возрастания и убывания. Знак показывает, выше или ниже оси \(Ox\) находится график, а монотонность описывает, как изменяются значения функции при увеличении \(x\).

Проверь себя

Где функция \(f(x)=x-3\) отрицательна?

Главное за минуту

Главное

Нули функции и точки, где она не определена, делят область определения на промежутки.
На каждом промежутке определяют знак функции: по формуле, таблице знаков или графику.
Выше оси \(Ox\) функция положительна, ниже оси \(Ox\) — отрицательна; точки нулей в эти промежутки не включают.