Задачи на арифметическую прогрессию
Арифметическая прогрессия встречается в задачах на последовательности, таблицы, движение по шагам и равномерное увеличение или уменьшение величины. На этой странице разберём, как находить члены прогрессии, её разность и сумму, а также как выбирать подходящую формулу на экзамене.
Основные понятия и свойства
Последовательность обозначают \(a_1, a_2, a_3,\ldots,a_n\). Индекс показывает номер члена, а не его значение. Например, \(a_5\) — пятый член последовательности.
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Это число называют разностью прогрессии и обозначают буквой \(d\).
Если \(d>0\), прогрессия возрастает; если \(d<0\), убывает; если \(d=0\), все её члены равны. Например, \(4, 7, 10, 13,\ldots\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d=3\), а \(12, 8, 4, 0,\ldots\) — с разностью \(d=-4\).
Разность можно найти как разность двух соседних членов: \(d=a_{n+1}-a_n\). Если известны два члена с номерами \(m\) и \(n\), где \(m\ne n\), то сначала используют формулу общего члена, а затем выражают \(d\).
Полезное свойство: у любого члена, стоящего между двумя другими членами с одинаковым расстоянием по номерам, значение равно их среднему арифметическому.
Формула n-го члена
Перед решением задач полезно повторить формулу n-го члена арифметической прогрессии. Она позволяет перейти от первого члена и разности к любому члену последовательности.
В формуле \(a_1\) — первый член, \(n\) — номер искомого члена, \(d\) — разность. Обратите внимание на множитель \(n-1\): от первого члена до \(n\)-го нужно сделать именно \(n-1\) переходов.
1. Выпишите известные величины. 2. Определите \(a_1\), \(n\) и \(d\). 3. Подставьте их в \(a_n=a_1+(n-1)d\). 4. Проверьте знак и разумность результата: при \(d>0\) члены должны увеличиваться, а при \(d<0\) — уменьшаться.
Если требуется найти номер члена, формулу решают относительно \(n\):
Полученное значение \(n\) должно быть натуральным. Если вышло нецелое число, данный член не входит в последовательность.
В прогрессии \(5, 9, 13,\ldots\) чему равен десятый член?
Как находить разность и неизвестные члены
Если даны два члена прогрессии, например \(a_3\) и \(a_8\), между ними пять шагов. Поэтому разность равна изменению значения, делённому на число шагов:
После нахождения \(d\) можно вычислить первый член или любой другой член. Иногда удобнее составить систему из двух уравнений по формуле общего члена.
В арифметической прогрессии \(a_4=11\), \(a_{10}=35\). Найдём \(a_1\) и \(a_{20}\).
Ответ: \(a_1=-1\), \(a_{20}=75\). Проверка: от номера 4 до номера 10 — шесть переходов, а значение увеличилось на \(24\), значит каждый переход увеличивает член на \(4\).
Сумма первых n членов
В задачах на количество набранных баллов, общую длину рядов или сумму нескольких последовательных значений используется формула суммы арифметической прогрессии.
Если последний член неизвестен, его сначала находят по формуле n-го члена. Есть и форма суммы через \(a_1\) и \(d\):
Обе формулы равносильны. Первую удобно применять, когда известны первый и последний члены, вторую — когда известны первый член и разность.
Сумма первых \(n\) членов равна произведению количества членов на среднее арифметическое первого и последнего: \(S_n=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}\). Это объясняется попарным сложением членов с концов: \(a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\ldots\).
Найдём сумму первых 15 членов прогрессии, если \(a_1=7\), \(d=3\).
Ответ: \(S_{15}=420\). Если в условии дана сумма нескольких членов не с первого, можно найти сумму первых членов до правой и левой границы и вычесть лишнюю часть.
Как распознавать тип задачи
| Что дано в условии | Что искать или делать | Подходящая формула |
|---|---|---|
| Первый член, разность и номер | Найти член | \(a_n=a_1+(n-1)d\) |
| Два члена и их номера | Найти разность | \(d=\frac{a_n-a_m}{n-m}\) |
| Первый и последний члены, количество членов | Найти сумму | \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\) |
| Первый член, разность и количество членов | Найти сумму | \(S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}\) |
| Значение члена и параметры прогрессии | Найти его номер | \(n=\frac{a_n-a_1}{d}+1\) |
В текстовых задачах сначала переведите условие на язык последовательностей. Например, «каждый день прибавляют 5 рублей» означает разность \(d=5\), а «через 12 дней» может соответствовать двенадцатому члену или 11 прибавлениям — это зависит от того, что названо первым днём.
Не путайте номер члена и число переходов: от \(a_1\) до \(a_n\) — \(n-1\) переходов. Не забывайте скобки в формуле суммы: \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\). При убывающей прогрессии разность отрицательна. Если известны \(a_m\) и \(a_n\), делите на \(n-m\), а не на \(n\).
Запомните три формулы: \(a_n=a_1+(n-1)d\), \(d=\frac{a_n-a_m}{n-m}\) и \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\). Остальные выражения обычно получают из них.
Итоговая проверка
Проверьте готовность к задачам
Главное
- Арифметическая прогрессия имеет постоянную разность \(d\).
- Любой член находят по формуле \(a_n=a_1+(n-1)d\).
- По двум членам разность вычисляют как \(d=\frac{a_n-a_m}{n-m}\).
- Сумма первых \(n\) членов равна \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\).
- В задачах внимательно различайте номер члена и количество переходов: между \(a_m\) и \(a_n\) находится \(n-m\) шагов.