ЕГЭОГЭ
Задания № 11, 12 · ЕГЭ

Усечённая пирамида

Определение, свойства и основные формулы
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Усечённая пирамида — многогранник, полученный отсечением вершины пирамида плоскостью, параллельной основанию. У неё два подобных основания и боковые грани-трапеции.

Усечённая пирамидаНазвание связано с тем, что у исходной пирамиды мысленно «срезана» вершина.
Усечённая пирамида — часть пирамиды между её основанием и сечением плоскостью, параллельной основанию. Сечения и основания являются подобными многоугольниками, а соответствующие боковые рёбра пропорциональны.

Свойства

Основания усечённой пирамиды лежат в параллельных плоскостях. Боковые грани являются трапециями, а боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований. Если исходная пирамида правильная, то усечённая пирамида также называется правильной: её основания — правильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции.

Высота \(h\) — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. В правильной усечённой пирамиде апофема \(l\) — высота боковой грани, проведённая к её основанию.

Формулы

Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

\[S_{\text{полн}}=S_1+S_2+S_{\text{бок}}\]

Для правильной усечённой пирамиды, если \(P_1\) и \(P_2\) — периметры оснований, боковая площадь вычисляется так:

\[S_{\text{бок}}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot l\]

Объём усечённой пирамиды — отдельная формула, подробно разобранная на странице объёма усечённой пирамиды:

\[V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)\]
№
Пример

У правильной усечённой пирамиды \(P_1=6\), \(P_2=10\), а апофема \(l=4\). Тогда боковая поверхность равна \(S_{\text{бок}}=\frac{6+10}{2}\cdot4=32\).

!
Не перепутайте

Усечённая пирамида не является просто пирамидой без вершины с произвольным срезом: плоскость сечения должна быть параллельна основанию. Если параллельность не выполняется, полученное тело обычно не называют усечённой пирамидой.

Проверьте себя

Что обозначает \(h\) в формуле объёма усечённой пирамиды?

Главное за минуту

Главное

  • Усечённая пирамида получается сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию; её основания подобны.
  • Для правильной усечённой пирамиды \(S_{\text{бок}}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot l\).
  • Объём вычисляют по формуле \(V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})\).