Задание № 11 · ЕГЭ

Объём усечённой пирамиды

Формула через площади оснований и высоту

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Объём усечённой пирамиды — это величина пространства внутри неё. Он вычисляется по площадям двух оснований и высоте: \(V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})\).

Объём усечённой пирамиды — число, показывающее, сколько кубических единиц пространства занимает усечённая пирамида. Здесь \(S_1\) и \(S_2\) — площади её параллельных оснований, а \(h\) — высота, то есть перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.

Формула

\[V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)\]1

В формуле \(S_1\) и \(S_2\) можно обозначать в любом порядке: результат не изменится. Все длины должны быть выражены в согласованных единицах, поэтому объём получится в кубических единицах. Формула обобщает формулу объёма пирамиды: если одно основание стянется в точку, его площадь станет равной нулю.

№

Пример

Пусть \(S_1=25\ \text{см}^2\), \(S_2=9\ \text{см}^2\), а \(h=6\ \text{см}\). Тогда \(\sqrt{S_1S_2}=\sqrt{25\cdot9}=15\), и \(V=\frac{6}{3}(25+9+15)=2\cdot49=98\ \text{см}^3\).

Не путайте

Нельзя заменять формулу выражением \(V=\frac{h}{3}(S_1+S_2)\): в нём пропущено слагаемое \(\sqrt{S_1S_2}\). Также высота — не боковое ребро и не наклонная сторона; это именно перпендикуляр между основаниями.

Проверьте себя

Площади оснований равны \(16\ \text{см}^2\) и \(4\ \text{см}^2\), высота — \(3\ \text{см}\). Чему равен объём?

Главное за минуту

Главное

\(V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})\).
\(S_1\) и \(S_2\) — площади оснований, \(h\) — перпендикулярное расстояние между ними.
Ответ записывают в кубических единицах.