Задание № 13 · ЕГЭ

Уравнение с двумя корнями

Рациональный способ решения уравнений, содержащих два квадратных радикала

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение с двумя корнями — это уравнение, в котором неизвестная входит в два выражения с квадратными корнями. Обычно его решают последовательным выделением радикалов и возведением обеих частей в квадрат, обязательно проверяя найденные значения.

Уравнение вида \(\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=h(x)\) или равносильное ему, содержащее два квадратных радикала с неизвестной. Сначала учитывают область допустимых значений: \(f(x)\ge 0\) и \(g(x)\ge 0\), затем рационально устраняют радикалы. Такое уравнение является частным случаем коренного уравнения и относится к иррациональным уравнениям.

\[\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=h(x),\qquad f(x)\ge 0,\quad g(x)\ge 0\]

Основной приём

Выразите один корень через остальные слагаемые, возведите обе части в квадрат, приведите подобные члены и снова изолируйте оставшийся радикал. После второго возведения в квадрат проверьте корни в исходном уравнении. Если выражение повторяется, может помочь замена переменной.

№

Пример

Решим \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=3\). ОДЗ: \(x\ge2\). Переносим первый корень: \(\sqrt{x+1}=3-\sqrt{x-2}\). Возводим в квадрат: \(x+1=9-6\sqrt{x-2}+x-2\), поэтому \(\sqrt{x-2}=\frac{10}{6}=\frac53\). Ещё раз возводим в квадрат: \(x-2=\frac{25}{9}\), значит \(x=\frac{43}{9}\). Подстановка в исходное уравнение подтверждает ответ.

Не путайте

«Два корня» здесь означает два радикала, а не два решения уравнения. После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому проверка обязательна.

Проверка

Какое условие нужно записать первым при решении \(\sqrt{x-4}+\sqrt{2x+1}=5\)?

Главное за минуту

Главное

Сначала найдите ОДЗ: каждый подкоренной выражение должно быть неотрицательным.
Изолируйте радикалы и возводите в квадрат поэтапно.
Проверяйте все полученные значения в исходном уравнении: возведение в квадрат может добавить посторонние корни.