Задания № 13, 17 · ЕГЭ

Уравнение четвертой степени

Уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ и способы их решения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Уравнение четвёртой степени — это уравнение, в котором старшая степень переменной равна четырём. В школьных задачах его обычно решают заменой переменной, сведением к квадратному уравнению или разложением на множители.

Уравнение четвёртой степени

Уравнение вида $P_4(x)=0$, где $P_4(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, $a\ne0$. Его степень равна четырём, потому что показатель степени переменной в старшем ненулевом члене равен $4$. Такое уравнение является частным случаем алгебраического уравнения.

Основные способы решения

Если в уравнении встречаются только чётные степени переменной, применяют замену $t=x^2$. Тогда исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $t$. После этого находят $x$ из равенства $x^2=t$ и отбрасывают значения, для которых $t<0.

\[ax^4+bx^2+c=0\quad\xrightarrow{\ t=x^2\ }\quad at^2+bt+c=0\]

Иногда удобно сгруппировать слагаемые и выполнить разложение многочлена на множители. После этого используют правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. В более сложных случаях сначала ищут общий множитель или рациональные корни многочлена.

№

Пример: биквадратное уравнение

Решим $x^4-5x^2+4=0$. Положим $t=x^2$. Получим $t^2-5t+4=0$, откуда $t=1$ или $t=4$. Поэтому $x^2=1$ или $x^2=4$, и решения: $x=-2,-1,1,2$.

Не путайте замену

После замены $t=x^2$ переменная $t$ не может быть отрицательной. Например, корень $t=-3$ квадратного уравнения не даёт действительных корней исходного уравнения, потому что равенство $x^2=-3$ невозможно в действительных числах.

Проверьте себя

Какая замена подходит для уравнения $x^4-7x^2+10=0$?

Главное за минуту

Главное

Уравнение четвёртой степени имеет вид $P_4(x)=0$, где старшая степень переменной равна четырём.
Для уравнений с чётными степенями используют замену $t=x^2$, а затем решают квадратное уравнение.
При разложении на множители нужно решить каждое полученное уравнение и проверить ограничения, например $t\ge0$.

Основные способы решения

Какая замена подходит для уравнения \(x^4-7x^2+10=0\)?

Главное