Тригонометрические неравенства
Тригонометрическое неравенство содержит неизвестную под знаком \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) или \(\cot\). Его удобно решать геометрически: сначала отметить подходящие дуги на единичной окружности, затем записать общий ответ на числовой прямой с учётом периода функции.
1. Что нужно знать перед решением
Перед этой темой полезно повторить тригонометрические уравнения: точки, соответствующие корням, определяются теми же формулами. Неравенство отличается тем, что ответом обычно является не набор отдельных точек, а дуги окружности или интервалы значений \(x\).
Это неравенство, в котором переменная входит в аргумент тригонометрической функции: например, \(\sin x\ge\frac12\), \(\cos(2x)<0\) или \(\tan\left(x-\frac\pi4\right)>1\).
Для синуса и косинуса период равен \(2\pi\): значения повторяются при добавлении \(2\pi k\). Для тангенса и котангенса период равен \(\pi\).
Если аргумент имеет вид \(ax+b\), сначала удобно ввести новую переменную \(t=ax+b\). После решения относительно \(t\) нужно вернуться к \(x\). При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется.
2. Решение на единичной окружности
На единичной окружности точке с углом \(t\) соответствуют координаты \((\cos t,\sin t)\). Поэтому условие \(\sin t\ge a\) означает, что ордината точки не меньше \(a\), а условие \(\cos t\le a\) — что абсцисса не больше \(a\).
Для точных значений используйте табличные углы: \(0\), \(\frac\pi6\), \(\frac\pi4\), \(\frac\pi3\), \(\frac\pi2\) и их значения в других четвертях. Граничные точки включаются при знаках \(\le\) и \(\ge\), но не включаются при \(<\) и \(>\).
| Неравенство | Как отмечать на окружности | Базовый ответ |
|---|---|---|
| \(\sin t\ge a\) | выше горизонтальной прямой \(y=a\) | интервал около \(\frac\pi2\) |
| \(\sin t\le a\) | ниже горизонтальной прямой \(y=a\) | дополнение предыдущего |
| \(\cos t\ge a\) | правее вертикальной прямой \(x=a\) | интервал около \(0\) |
| \(\cos t\le a\) | левее вертикальной прямой \(x=a\) | интервал около \(\pi\) |
| \(\tan t\ge a\) | по возрастанию тангенса между асимптотами | один интервал длины менее \(\pi\) |
Для синуса и косинуса быстрее всего отметить границы на окружности и выбрать нужные дуги. Для тангенса и котангенса используйте монотонность на каждом промежутке между соседними точками разрыва.
3. Алгоритм решения
- Приведите неравенство к виду одной тригонометрической функции: \(\sin t\ge a\), \(\cos t<a\), \(\tan t\le a\).
- Если аргумент сложный, обозначьте его через \(t\) и отдельно запишите обратную замену.
- Найдите граничные углы — решения соответствующего уравнения.
- Отметьте границы на окружности или числовой прямой и выберите область, где неравенство выполняется.
- Добавьте период: \(2\pi k\) для синуса и косинуса, \(\pi k\) для тангенса и котангенса.
- Вернитесь от \(t\) к \(x\), аккуратно учитывая знак коэффициента при \(x\).
Какой период нужно добавить к решениям неравенства \(\tan t>1\)?
4. Разобранный пример
Решим неравенство \(2\sin\left(3x-\frac\pi6\right)\ge\sqrt3\) на всей числовой прямой.
Сначала разделим обе части на положительное число \(2\), затем решим стандартное неравенство для синуса. Важно не потерять период и правильно выполнить обратную замену.
Если требуется ответ на отрезке, например \([0;2\pi]\), после получения общего решения нужно перечислить только те значения \(k\), для которых интервалы пересекаются с данным отрезком.
5. Тангенс, котангенс и преобразования
Тангенс возрастает на каждом промежутке \(\left(-\frac\pi2+\pi k,\frac\pi2+\pi k\right)\) и не определён в точках \(\frac\pi2+\pi k\). Поэтому при решении \(\tan t>a\) найдите один граничный угол \(\alpha=\arctan a\), а затем возьмите интервал справа от него до ближайшей асимптоты.
Котангенс убывает на каждом промежутке \((\pi k,\pi+\pi k)\), поэтому направление выбора интервала противоположно тангенсу. Сложные выражения иногда упрощаются тождествами, но преобразования должны сохранять область определения.
1) Используют период \(2\pi\) для тангенса вместо \(\pi\). 2) Включают точки разрыва тангенса или котангенса. 3) Забывают поменять знак при делении на отрицательное число. 4) Решают только на \([0;2\pi]\), хотя в условии требуется общий ответ. 5) При замене \(t=ax+b\) не возвращаются к переменной \(x\). 6) Путают область, где синус больше, с областью, где косинус больше.
Равенство в условии означает круглую или квадратную скобку по смыслу: при \(\ge\) и \(\le\) граница входит, при \(>\) и \(<\) — не входит. Точки, где функция не определена, не входят никогда.
6. Проверка ответа и связь с другими темами
Проверьте один внутренний и один внешний угол из каждого найденного интервала. Подставьте их в исходное неравенство, а не только в преобразованную запись. Если ответ дан на отрезке, проверьте также концы отрезка.
При объединении нескольких условий используйте идеи совокупности неравенств: достаточно выполнения хотя бы одного условия. Если должны выполняться все условия, нужна система неравенств и пересечение найденных множеств. Задачи, где границы зависят от неизвестного параметра, относятся к теме неравенств с параметрами.
Быстрая проверка
Главное
- Сначала сводите неравенство к одной тригонометрической функции и при необходимости вводите \(t=ax+b\).
- Синус и косинус удобно решать на единичной окружности; их период — \(2\pi\).
- Тангенс и котангенс имеют период \(\pi\) и точки разрыва, которые нельзя включать в ответ.
- После решения относительно новой переменной обязательно возвращайтесь к \(x\) и учитывайте знак коэффициента.
- Проверяйте границы, период, область определения и соответствие ответа исходному неравенству.