Задания № 13, 17 · ЕГЭ

Теорема о рациональных корнях

Как ограничить поиск рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Теорема о рациональных корнях позволяет составить конечный список кандидатов на рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Она не утверждает, что каждый кандидат действительно является корнем: после отбора значения нужно проверить подстановкой или разложением на множители.

Пусть \(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) — многочлен с целыми коэффициентами, причём \(a_n\ne0\). Если несократимая дробь \(\frac{p}{q}\) является рациональным корнем уравнения \(P(x)=0\), то \(p\) делит свободный член \(a_0\), а \(q\) делит старший коэффициент \(a_n\): \(p\mid a_0\), \(q\mid a_n\).

Формула для кандидатов

\[x=\frac{p}{q},\quad \gcd(p,q)=1,\quad p\mid a_0,\quad q\mid a_n\]

Чтобы найти возможные рациональные корни, выписывают все делители свободного члена и старшего коэффициента, составляют дроби \(\pm\frac{p}{q}\) и затем проверяют их. Если \(a_0=0\), то \(x=0\) сразу является корнем; многочлен можно сначала разделить на \(x\).

№

Пример

Рассмотрим уравнение \(2x^2-5x+2=0\). Здесь \(a_0=2\), \(a_2=2\). Возможные рациональные корни: \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm\frac12\). Проверка даёт \(P(2)=8-10+2=0\) и \(P(\frac12)=\frac12-\frac52+2=0\). Значит, корни — \(2\) и \(\frac12\), а многочлен раскладывается так: \(2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)\).

Не путайте с теоремой Безу

Теорема Безу помогает проверить, является ли число корнем: остаток от деления \(P(x)\) на \(x-r\) равен \(P(r)\). Теорема о рациональных корнях только ограничивает список возможных дробных корней. Она не заменяет проверку.

Проверьте себя

Какие рациональные корни могут быть у многочлена \(6x^3+x-5\)?

Главное за минуту

Главное

Для корня \(\frac pq\) в несократимом виде числитель делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент.
Теорема создаёт список кандидатов, но каждый кандидат нужно проверить.
При нулевом свободном члене число \(0\) является корнем.