Тапсырма № 9 · ЕГЭ

Тангенс угла между прямыми

Как найти угол между двумя прямыми по их угловым коэффициентам

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Тангенс угла между двумя прямыми выражается через их угловые коэффициенты: нужно взять модуль разности коэффициентов и разделить её на модуль единицы плюс их произведение. Формула применяется, если прямые не вертикальны.

Пусть две прямые имеют угловые коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\). Угол между ними обычно выбирают острым или прямым, а его тангенс находят по формуле через эти коэффициенты. Угловой коэффициент описывает наклон прямой и подробно рассматривается на странице угловой коэффициент касательной.

Формула

\[\tan\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\]

Здесь \(φ\) — угол между прямыми, \(k_1\) и \(k_2\) — их угловые коэффициенты. Если прямые заданы уравнениями \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\), коэффициенты \(b_1\) и \(b_2\) на величину угла не влияют.

Не перепутайте знак и модуль

Для обычного угла между прямыми берут модуль: \(φ\) выбирают от \(0^\circ\) до \(90^\circ\). Без модуля можно получить тангенс ориентированного угла, который бывает отрицательным. Если \(1+k_1k_2=0\), прямые перпендикулярны, поэтому \(φ=90^\circ\), а тангенс не определён.

№

Пример

Для прямых \(y=2x+1\) и \(y=5x-3\) имеем \(k_1=2\), \(k_2=5\). Тогда \(\tan\varphi=\left|\frac{5-2}{1+2\cdot5}\right|=\frac{3}{11}\). Значит, угол можно найти как \(φ=\arctan\frac{3}{11}\).

Проверь себя

Чему равен тангенс угла между прямыми с коэффициентами \(k_1=1\) и \(k_2=-1\)?

Главное за минуту

Главное

Для прямых с коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\) используйте \(\tan\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\).
Свободные члены уравнений прямых на угол не влияют.
При \(k_1k_2=-1\) прямые перпендикулярны, и угол между ними равен \(90^\circ\).