Формулы преобразования суммы в произведение
Формулы преобразования суммы в произведение заменяют сумму или разность двух синусов, двух косинусов либо синуса и косинуса произведением тригонометрических выражений. Они помогают упрощать выражения и решать тригонометрические уравнения.
Основные формулы
В формулах важно не перепутать полусумму и полуразность. Для синусов при разности появляется множитель \(\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\), а для косинусов при разности перед произведением стоит знак «минус».
Преобразуем \(\sin 70^\circ+\sin 10^\circ\). Здесь \(\alpha=70^\circ\), \(\beta=10^\circ\). По формуле суммы синусов получаем \(2\sin 40^\circ\cos 30^\circ=\sqrt{3}\sin 40^\circ\).
Эти формулы превращают сумму в произведение. Обратное действие — преобразование произведения в сумму — выполняется по другим формулам. Также не следует заменять \(\cos\alpha-\cos\beta\) выражением без минуса: правильный результат равен \(-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\).
Чему равно \(\cos 50^\circ+\cos 10^\circ\)?
Главное
- Сумма и разность синусов или косинусов выражаются через полусумму и полуразность углов.
- Для суммы косинусов используется \(2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\); для разности косинусов обязательно появляется знак «минус».
- Формулы применяют для упрощения выражений и решения уравнений, а обратные формулы относятся к преобразованию произведения в сумму.