Тапсырма № 3 · ЕГЭ

Произведение суммы и разности

Как произведение суммы и разности превращается в разность квадратов

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов. Эта формула помогает быстро раскрывать скобки и выполнять разложение по формулам без громоздких вычислений.

Произведением суммы и разности называют выражение вида \((a+b)(a-b)\) немесе \((a-b)(a+b)\), где используются одни и те же два выражения, но между ними стоят разные знаки. Его значение находят по формуле разности квадратов: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Здесь \(a\) и \(b\) могут быть числами, одночленами или более сложными выражениями. Важно, чтобы в обеих скобках сохранялись одинаковые слагаемые: первое выражение должно отличаться от второго только знаком между ними.

Почему формула работает

Если раскрыть скобки обычным умножением, получим \((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2\). Средние слагаемые \(-ab\) и \(+ab\) уничтожаются, поэтому остаётся \(a^2-b^2\).

№

Пример

Упростим \((x+5)(x-5)\). Здесь \(a=x\), а \(b=5\). По формуле произведение равно \(x^2-5^2=x^2-25\).

Не путайте с квадратом суммы

Выражение \((a+b)^2\) — это квадрат суммы, а не произведение суммы и разности. Для него используется другая формула: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). В произведении \((a+b)(a-b)\) средние слагаемые сокращаются, поэтому члена \(2ab\) нет.

Проверь себя

Чему равно \((3y+2)(3y-2)\)?

Формулу можно применять и в обратную сторону. Если выражение имеет вид \(a^2-b^2\), его можно представить как \((a+b)(a-b)\). Такой приём используется при разложении на множители по формулам. Например, \(x^2-16=(x+4)(x-4)\).

Главное за минуту

Главное

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) — произведение суммы и разности равно разности квадратов.
В обеих скобках должны быть одинаковые выражения, отличающиеся только знаком.
Формулу можно применять и для раскрытия скобок, и для разложения разности квадратов на множители.