Системы уравнений: метод сложения
Метод сложения применяют, когда в системе можно устранить одну переменную сложением или вычитанием уравнений. После этого получают уравнение с одной переменной, находят её значение, затем вычисляют вторую переменную и обязательно проверяют найденную пару в исходной системе.
Перед изучением метода полезно повторить системы линейных уравнений. Метод сложения особенно удобен, если коэффициенты при одной переменной уже противоположны или легко становятся такими после умножения уравнений на подходящие числа.
Что значит решить систему
Решением системы уравнений называют такую пару значений переменных \((x;y)\), которая одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Решить систему — значит найти все её шешімдер или доказать, что шешімдер нет.
У системы двух линейных уравнений могут быть одно решение, бесконечно много решений или не быть решений. В задачах с нелинейными уравнениями число решений также может быть разным, поэтому после преобразований важно учитывать исходные условия и выполнять проверку.
Если к одному уравнению системы прибавить другое уравнение, предварительно умноженное на любое число, отличное от нуля, множество решений системы не изменится. Поэтому допустимо умножать уравнение на число и складывать уравнения почленно.
Алгоритм метода сложения
Пусть дана система, записанная в стандартном виде. Цель — сделать коэффициенты при одной переменной противоположными: например, \(5\) и \(-5\). Тогда при сложении соответствующие слагаемые уничтожатся.
- Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и перенести члены так, чтобы уравнения имели сопоставимый вид.
- Выбрать переменную, которую удобнее исключить.
- Если коэффициенты не противоположны, умножить одно или оба уравнения на подходящие ненулевые числа.
- Сложить уравнения почленно. Получится уравнение с одной переменной.
- Решить полученное уравнение и найти первую переменную.
- Подставить найденное значение в одно из исходных уравнений и найти вторую переменную.
- Тексеру пару в обоих исходных уравнениях и записать ответ.
Множители выбирают так, чтобы \(b_1k+b_2m=0\). Например, для коэффициентов \(3\) и \(-2\) можно умножить первое уравнение на \(2\), а второе — на \(3\): новые коэффициенты станут \(6\) и \(-6\).
Сначала ищите переменную с уже противоположными коэффициентами. Если таких коэффициентов нет, выбирайте пару с наименьшим общим произведением: это уменьшает вычисления и вероятность ошибки.
Разобранный пример
Решим систему деңгейі экзамена:
Коэффициенты при \(y\) равны \(2\) и \(-2\), поэтому уравнения можно сразу сложить. Покажем Шешім по шагам.
Получена пара \((4;\frac{7}{2})\). Проверим её в обоих уравнениях:
Оба равенства выполняются, поэтому Шешім системы: \(\boxed{(4;\frac72)}\).
Какими множителями нужно умножить уравнения \(2x+3y=7\) и \(5x-2y=4\), чтобы при сложении исключить \(y\)?
Особые случаи и проверка
Иногда после сложения переменные исчезают обе. Тогда результат помогает определить число шешімдер.
| После преобразований | Вывод |
|---|---|
| \(0=5\) или другое неверное равенство | Система шешімдер не имеет. |
| \(0=0\) | Теңдеулер зависимы; нужно исследовать систему дальше, часто шешімдер бесконечно много. |
| Получено обычное уравнение с одной переменной | Находим одну переменную, затем вторую. |
Если система содержит квадрат, дробь, корень или модуль, после нахождения кандидатов особенно важна проверка. Такие системы могут привести к посторонним значениям при преобразованиях, например после возведения в квадрат или умножения на выражение, которое способно обращаться в ноль. В этом случае полезно повторить правила из страниц системы с дробями, системы с корнями немесе системы с модулями.
1. При умножении уравнения забывают умножить на множитель каждый член, включая правую часть. 2. При сложении ошибаются со знаками: \(-2y+2y=0\), а не \(4y\). 3. Найденное значение подставляют не в исходное, а уже изменённое уравнение с потерянным знаком. 4. Ответ записывают одной переменной, хотя решение системы — это пара \((x;y)\). 5. Не выполняют проверку, особенно в нелинейных системах.
Метод сложения в нелинейных системах
Метод сложения работает не только для линейных систем. Главное, чтобы после подходящего преобразования одинаковые слагаемые уничтожились. Например, в системе с \(x^2\) можно сложить уравнения и сначала найти \(y\), а затем решить полученное уравнение относительно \(x\). Иногда один из қадам приводит к уравнению с двумя корнями, и тогда каждое найденное значение нужно проверить в системе.
В симметричных или однородных выражениях могут быть удобны специальные приёмы, но сначала всегда стоит проверить, не уничтожается ли одна часть обычным сложением или вычитанием. Для более сложных случаев пригодятся метод подстановки и метод замены.
Метод сложения — это не «сложить всё подряд», а подобрать множители так, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали противоположными. После этого переменная исчезает.
Quick-test
Проверь понимание
Главное
- Шешім системы — пара значений, удовлетворяющая всем уравнениям.
- Для метода сложения делают коэффициенты при одной переменной противоположными.
- После сложения находят одну переменную, затем подстановкой — вторую.
- Результаты \(0=7\) и \(0=0\) означают соответственно отсутствие шешімдер и возможную зависимость уравнений.
- Всегда проверяйте найденную пару в исходной системе.