Задание № 18 · ЕГЭ

Системы логарифмических уравнений

Определение, область допустимых значений и алгоритм решения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Система логарифмических уравнений — это несколько уравнений с логарифмами, в которых неизвестные должны одновременно удовлетворять всем уравнениям. При решении обязательно находят область допустимых значений (ОДЗ), потому что аргументы логарифмов должны быть положительными.

Система логарифмических уравнений

Система логарифмических уравнений — система, содержащая два или более уравнения с неизвестными под знаками логарифмов или в их основаниях. Её решением является набор значений неизвестных, который удовлетворяет каждому уравнению системы и условиям ОДЗ.

Как решают систему

Сначала выписывают ОДЗ: каждое основание логарифма должно быть положительным и не равно \(1\), а каждый аргумент — строго положительным. Затем используют свойства логарифмов, замену переменных, равенство логарифмов или логарифмические уравнения. После получения кандидатов их проверяют по ОДЗ и подставляют в исходную систему.

\[\begin{cases}\log_{a} f(x,y)=b,\\ g(x,y)=c\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{cases}a>0,\ a\ne1,\\ f(x,y)>0\end{cases}\]

Главное правило

Преобразования системы допустимы только на ОДЗ. Если при решении выполняются возведение в квадрат, умножение на выражение с неизвестными или другие неравносильные действия, найденные пары необходимо проверить в исходной системе.

№

Короткий пример

Решим систему \(\begin{cases}\log_2 x+\log_2 y=3,\\x-y=2.\end{cases}\) ОДЗ: \(x>0\), \(y>0\). По свойству логарифма получаем \(\log_2(xy)=3\), значит \(xy=8\). Из \(x=y+2\): \(y(y+2)=8\), откуда \(y=2\) или \(y=-4\). ОДЗ оставляет \(y=2\), поэтому \(x=4\). Ответ: \((4;2)\).

Не путайте

Система уравнений требует выполнить все уравнения одновременно. Нельзя решать уравнения по отдельности и объединять их корни: нужно находить общие пары значений.

Проверь себя

Какое условие обязательно для аргумента \(\log_a(f(x))\)?

Главное за минуту

Главное

Сначала составляют ОДЗ для всех логарифмов системы.
Затем преобразуют систему и находят кандидатов.
В конце проверяют решения по ОДЗ и в исходной системе.