Тапсырма № 14 · ЕГЭ

Синус через экспоненту

Формула Эйлера для представления синуса через комплексные экспоненты

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Синус через экспоненту выражается как разность двух комплексных экспонент с мнимыми показателями, делённая на \(2i\). Эта жазба особенно удобна при преобразовании тригонометрических выражений и работе с тригонометрической формой комплексного числа.

Представление функции синуса действительного аргумента \(x\) через экспоненциальную функцию: \(\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\), где \(i\) — мнимая единица, \(i^2=-1\). Показатели \(ix\) и \(-ix\) являются мнимыми, если \(x\) действительный.

Формула

\[\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\]

Формула следует из формулы Эйлера: \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) и \(e^{-ix}=\cos x-i\sin x\). При вычитании второе равенство из первого косинусы сокращаются: \(e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\). Поэтому синус получается делением разности на \(2i\). Аналогично записывается косинус через экспоненту: \(\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\).

№

Пример: значение \(\sin\frac{\pi}{2}\)

Подставим \(x=\frac{\pi}{2}\): \(\sin\frac{\pi}{2}=\frac{e^{i\pi/2}-e^{-i\pi/2}}{2i}\). По формуле Эйлера \(e^{i\pi/2}=i\), а \(e^{-i\pi/2}=-i\). Тогда \(\sin\frac{\pi}{2}=\frac{i-(-i)}{2i}=1\).

Не путайте показатели

В формуле стоит \(e^{ix}\), а не \(e^x\). Экспонента \(e^x\) при действительном \(x\) — действительное число, тогда как \(e^{ix}\) связано с колебательным поведением и тригонометрическими функциями. Множитель \(i\) нельзя пропускать или заменять на обычную единицу.

Проверьте себя

Какая формула правильно выражает синус через экспоненту?

Главное за минуту

Главное

\(\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\).
Мнимый показатель \(ix\) принципиален: он связывает экспоненту с тригонометрией.
Формула получается вычитанием двух равенств Эйлера.