Задание № 12 · ЕГЭ

Сходимость последовательности

Что значит, что числовая последовательность сходится

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Последовательность называется сходящейся, если её члены при увеличении номера приближаются к некоторому числу. Это число называют пределом последовательности.

Числовая последовательность \((a_n)\) сходится к числу \(A\), если для любого, даже очень малого, положительного числа \(\varepsilon\) существует такой номер \(N\), что для всех \(n>N\) выполняется неравенство \(|a_n-A|<\varepsilon\). Число \(A\) называется пределом последовательности.

Последовательность состоит из членов, занумерованных натуральными числами: \(a_1,a_2,a_3,\ldots\). Поэтому сходимость описывает поведение членов числовой последовательности при больших номерах, а не первых нескольких членов. Условие сходимости означает, что начиная с некоторого номера все члены находятся сколь угодно близко к \(A\).

\[\lim_{n\to\infty} a_n=A\quad\Longleftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n>N\Rightarrow |a_n-A|<\varepsilon.\]

Если такого конечного числа \(A\) нет, последовательность не сходится. Например, последовательность может неограниченно возрастать или колебаться. При этом ограниченность последовательности сама по себе ещё не гарантирует сходимость.

№

Пример

Рассмотрим \(a_n=\frac{1}{n}\). При увеличении \(n\) значения \(\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\) становятся всё ближе к нулю. Поэтому \(\lim_{n\to\infty}\frac1n=0\), и последовательность сходится.

Не путайте

Сходимость — это свойство последовательности, а предел — число, к которому она стремится. У сходящейся последовательности предел единственный. Последовательность \(a_n=(-1)^n\) ограничена, но не сходится: её члены чередуются между \(-1\) и \(1\) и не приближаются к одному числу.

Проверьте себя

К какому числу сходится последовательность \(a_n=5+\frac{2}{n}\)?

Для нахождения предела часто используют свойства пределов. Например, если \(a_n\to A\) и \(b_n\to B\), то \(a_n+b_n\to A+B\), а при умножении последовательности на число предел умножается на это число. Более подробное строгое рассмотрение предела приведено на странице предел последовательности.

Главное за минуту

Главное

Сходящаяся последовательность приближается к одному конечному числу \(A\).
Запись \(\lim_{n\to\infty}a_n=A\) означает: члены последовательности можно сделать сколь угодно близкими к \(A\).
Ограниченность необходима не для каждой формулировки сходимости, но сама по себе сходимость не следует из одной ограниченности.