Задачи на углы четырехугольника
Чтобы находить неизвестные углы четырёхугольника, сначала определите его вид и найдите связи между углами: сумму углов четырёхугольника, свойства параллельных прямых, равенство углов в специальных четырёхугольниках или свойства вписанного четырёхугольника.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника
Выпуклый четырёхугольник — это четырёхугольник, лежащий по одну сторону от каждой своей стороны. Его вершины обычно обозначают последовательно: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), а внутренние углы — \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\).
Внутренний угол выпуклого четырёхугольника — угол между двумя его соседними сторонами, расположенный внутри фигуры.
Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна \(360^\circ\). Это частный случай суммы углов многоугольника.
Главный алгоритм прост: обозначьте неизвестный угол буквой, запишите сумму четырёх углов, подставьте известные значения и решите уравнение. Если неизвестны два угла, одной только суммы углов обычно недостаточно — понадобится дополнительное свойство фигуры.
Специальные четырёхугольники
Дополнительные равенства появляются, если в условии указано, что фигура является параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом или трапецией. Перед вычислениями выпишите свойства, которые относятся именно к данной фигуре.
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\), \(\angle A+\angle B=180^\circ\). При первом упоминании полезно повторить свойства углов четырёхугольника.
В прямоугольнике все углы прямые: каждый равен \(90^\circ\). Квадрат обладает тем же свойством углов, а также является одновременно прямоугольником и ромбом.
В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы supplementary: их сумма равна \(180^\circ\). Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому угол между стороной и диагональю может быть половиной угла ромба.
Если основания трапеции параллельны, то сумма внутренних односторонних углов при каждой боковой стороне равна \(180^\circ\): \(\angle A+\angle D=180^\circ\) и \(\angle B+\angle C=180^\circ\) для стандартной нумерации вершин.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому достаточно найти один угол: второй при том же основании равен ему, а соседние с ним углы дополняют его до \(180^\circ\). Подробные связи удобно сопоставлять со страницей углы трапеции.
В параллелограмме один угол равен \(68^\circ\). Чему равен соседний угол?
Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Окружность, проходящая через вершины, называется описанной около четырёхугольника.
В выпуклом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\): \(\angle A+\angle C=180^\circ\) и \(\angle B+\angle D=180^\circ\). Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные углы supplementary, то около него можно описать окружность.
Это свойство часто позволяет найти угол сразу, без использования суммы всех четырёх углов. Например, если \(\angle A=73^\circ\), то противоположный угол \(\angle C=107^\circ\). Важно не перепутать противоположные и соседние углы: у вписанного четырёхугольника в сумме \(180^\circ\) именно противоположные.
Ищите в условии фразы «вершины лежат на окружности», «около четырёхугольника описана окружность» или равенство суммы противоположных углов \(180^\circ\). Наличие окружности — сигнал проверить теорему о вписанном четырёхугольнике.
Разобранный пример
Условие. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Известно, что \(\angle A=2x+10^\circ\), \(\angle C=4x-30^\circ\). Найдите \(\angle A\) и \(\angle C\).
Углы \(A\) и \(C\) — противоположные, поэтому их сумма равна \(180^\circ\).
Проверка: \(76\frac{2}{3}^\circ+103\frac{1}{3}^\circ=180^\circ\). Оба угла положительны и меньше \(180^\circ\), значит результат согласуется с выпуклостью четырёхугольника.
Как составлять уравнение
Обычно задача решается в несколько действий. Сначала сделайте небольшой чертёж и подпишите углы. Затем определите, какие углы связаны: все четыре — суммой \(360^\circ\), соседние в параллелограмме или трапеции — суммой \(180^\circ\), противоположные во вписанном четырёхугольнике — также суммой \(180^\circ\).
- Определите тип четырёхугольника и выпишите его свойства.
- Найдите пары равных углов или пар supplementary углов.
- Выразите неизвестные углы через переменную, если в условии есть \(x\).
- Составьте уравнение: используйте \(360^\circ\) для всех углов или \(180^\circ\) для нужной пары.
- Решите уравнение и подставьте ответ обратно для проверки.
Если четырёхугольник разделён диагональю, его можно рассматривать как два треугольника. Тогда применяются свойства углов треугольника; это особенно удобно, когда известны углы при диагонали. Не смешивайте внутренний угол четырёхугольника с углом, который диагональ образует со стороной.
1. Записывают сумму углов четырёхугольника как \(180^\circ\) — это сумма углов треугольника, а для четырёхугольника нужно \(360^\circ\). 2. Для вписанного четырёхугольника складывают соседние углы вместо противоположных. 3. Считают равными соседние углы параллелограмма: равны противоположные. 4. Забывают, что угол выпуклого четырёхугольника лежит между \(0^\circ\) и \(180^\circ\). 5. Не проверяют найденное значение подстановкой.
Для любого четырёхугольника: сумма углов \(360^\circ\). Для параллелограмма: противоположные углы равны, соседние дают \(180^\circ\). Для вписанного четырёхугольника: противоположные углы дают \(180^\circ\). Для прямоугольника и квадрата: все углы по \(90^\circ\).
Quick-test
Проверьте готовность
Главное
- Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна \(360^\circ\).
- В параллелограмме равны противоположные углы, а соседние в сумме дают \(180^\circ\).
- В прямоугольнике и квадрате каждый угол равен \(90^\circ\).
- Вписанный четырёхугольник имеет supplementary противоположные углы.
- Решение всегда проверяйте: подставьте найденные значения и убедитесь, что все углы допустимы для выпуклой фигуры.