Задания № 15, 17 · ОГЭ

Свойства углов четырехугольника

Сумма внутренних углов, выпуклые и вогнутые четырехугольники

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

У любого простого четырехугольника сумма внутренних углов равна \(360^\circ\). У выпуклого четырехугольника все внутренние углы меньше \(180^\circ\), а у вогнутого один из углов больше \(180^\circ\).

[[quadrilateral-basics:Четырехугольник]] — это простой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Его внутренние углы в сумме дают \(360^\circ\). Четырехугольник называют выпуклым, если отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри фигуры; в этом случае каждый внутренний угол меньше \(180^\circ\). Если фигура имеет вогнутый угол, то есть угол больше \(180^\circ\), четырехугольник называют вогнутым.

Сумма углов

Свойство следует из [[polygon-angle-sum:Суммы углов многоугольника]]: диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два треугольника, а сумма углов двух треугольников равна \(180^\circ+180^\circ\).

\[\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ\]

Для выпуклой фигуры каждый угол удовлетворяет неравенству \(0^\circ<\angle A<180^\circ\). В вогнутом четырехугольнике три внутренних угла меньше \(180^\circ\), а один — больше \(180^\circ\); их сумма всё равно равна \(360^\circ\).

№

Пример

В четырехугольнике три угла равны \(80^\circ\), \(95^\circ\) и \(110^\circ\). Четвертый угол равен \(360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=75^\circ\). Все углы меньше \(180^\circ\), поэтому четырехугольник выпуклый.

Не путайте

[[angle-types-and-measurement:Виды углов]] определяются их величиной, а выпуклость или вогнутость — расположением всей фигуры. Вогнутый четырехугольник не имеет «отрицательного» угла: его рефлексный внутренний угол больше \(180^\circ\).

Проверь себя

У четырехугольника три угла равны \(70^\circ\), \(120^\circ\) и \(80^\circ\). Каким является четвертый угол?

Главное за минуту

Главное

Сумма внутренних углов любого простого четырехугольника равна \(360^\circ\).
В выпуклом четырехугольнике все углы меньше \(180^\circ\).
В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше \(180^\circ\), но общая сумма углов также равна \(360^\circ\).