Задание № 2 · ОГЭ

Последовательные процентные изменения

Как находить итог после нескольких изменений в процентах

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Последовательные процентные изменения — это несколько изменений одной и той же величины, выполненных одно за другим. Чтобы найти итог, каждый следующий процент применяют уже к изменённому значению, а не к первоначальному.

Последовательные процентные изменения — это увеличение или уменьшение величины на несколько процентов по очереди. Каждое изменение задаётся своим множителем: при увеличении на \(p\%\) множитель равен \(1+\frac{p}{100}\), а при уменьшении на \(p\%\) — \(1-\frac{p}{100}\).

Формула

Пусть первоначальная величина равна \(A\). Если её последовательно изменяют на \(p_1\%\), \(p_2\%\), ..., \(p_n\%\), то итоговое значение находят умножением на соответствующие множители:

\[A_{\text{итог}}=A\left(1+\frac{p_1}{100}\right)\left(1+\frac{p_2}{100}\right)\cdots\left(1+\frac{p_n}{100}\right)\]1

Для увеличения берут знак «плюс», для уменьшения — знак «минус». Например, уменьшение на \(20\%\) записывают как множитель \(0{,}8\), а увеличение на \(15\%\) — как \(1{,}15\). Такой способ связан с понятием процентного изменения, которое полезно повторить перед решением задач.

№

Пример

Цена товара была \(2000\) рублей. Сначала её увеличили на \(10\%\), а затем уменьшили на \(10\%\). Получаем \(2000\cdot1{,}1\cdot0{,}9=1980\) рублей. Итоговая цена на \(20\) рублей меньше первоначальной, то есть уменьшилась на \(1\%\).

Не складывайте проценты автоматически

Два последовательных изменения на \(10\%\) не дают нулевое изменение и не всегда сводятся к простому сложению процентов. В примере выше множители перемножаются: \(1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\). Поэтому результат отличается от исходной величины.

Последовательные скидки и наценки являются частным случаем этого правила: их удобно решать тем же умножением на множители. Подробнее они разобраны на странице последовательных скидок и наценок.

Проверь себя

Величину увеличили на \(20\%\), а затем уменьшили на \(20\%\). Как изменился итог по сравнению с первоначальным значением?

Главное за минуту

Главное

Каждое процентное изменение превращают в множитель: \(1\pm\frac{p}{100}\).
При последовательных изменениях множители перемножают.
Одинаковые увеличение и уменьшение на \(p\%\) не возвращают величину к исходной.